Курсовая теория на тему Пифагоровы треугольники.

Содержание:

Введение. 2

1.   Пифагоровы тройки. 6

2.   Свойства пифагоровых троек. 7

Заключение. 14

Список использованной литературы.. 15

Введение:

Ещё из древнейших времен египтянам была
известна замечательная тройка чисел, которая до настоящего времени используется
в архитектуре, эта тройка – 3, 4 и 5. Эта тройка чисел замечательна тем, что
эта цепочка чисел является длинами сторон прямоугольного треугольника и
подчиняются теореме Пифагора, выраженной формулой: (1).

В
энциклопедии «Википедия» приводятся подобные виды таблиц, например, для
наименьших катетов со значениями до 1000 единиц, но в этих таблицах
пропускаются несколько промежуточных значений [1] поэтому они не могут иметь
значений при их широком применении.

Имеются
целые числа, удовлетворяющие формулу Герона, когда все стороны и высота,
опущенная на основание, имеют целочисленные значения.

Приводятся
несколько числовых групп треугольников Герона [2, с 92], но как обобщенных
таблиц в справочниках не приводится. При разбивочных работах по закреплению
главных осей с большими геометрическими размерами иногда требуются
целочисленные тройки чисел, подчиняющиеся формуле Пифагора.

Пифагор Самосский –
древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы
пифагорейцев.

Историю
жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве
совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров.
Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»

Наиболее
известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла
древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением
математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении,
которое придавали древние тройке (3, 4, 5).

В
архитектуре древне месопотамских
надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух
прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII
век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и
29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Знаменитая
глиняная табличка Plimpton 322, которую в начале прошлого века на территории
современного Ирака нашел археолог Эдгар Бэнкс, содержит тригонометрическую
таблицу. Вероятно, вавилоняне использовали ее при строительстве зданий и
каналов. Причем их метод был основан на соотношении сторон, а не на углах и
окружностях, как у древних греков. Кроме того, он оказался сложнее.

Классическим
примером пифагоровой тройки являются числа 3, 4 и 5. Значения на Plimpton 322
начинаются с тройки 119, 120 и 169.

Как
известно, пифагоровым принято называть прямоугольный треугольник, длины сторон
которого являются решениями целочисленного уравнения = .

Самым
известным пифагоровым треугольником является треугольник со сторонами 3, 4, 5.
Это так называемый Египетский треугольник.

Если
стороны треугольника выражаются попарно взаимно простыми числами, то говорят о
простом (примитивном) пифагоровом треугольнике [1].

Соответственно
любую упорядоченную тройку (

) натуральных чисел, удовлетворяющих
уравнению, называют пифагоровой тройкой.

Аналогичным
образом упорядоченную тройку (

) попарно взаимно простых чисел называют
примитивной пифагоровой тройкой. Множество пифагоровых
троек бесконечно.

Доказать
это можно, например, так. Выберем произвольное нечётное число и сформируем
тройку натуральных чисел вида , .

Тогда
из тождества сразу следует, что
доказательство завершено

Заключение:

Геометрия,
как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» –
греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди
очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3–4
тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Евфрата и
Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей. Это требовало определённого
запаса геометрических и арифметических знаний.

Постепенно
люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

И
в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых
могло производиться только на основе предварительных расчётов. Также строились
водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов.

К
этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора, уже знали,
что если взять треугольники со сторонами где –
такие целые числа, что то
эти треугольники будут прямоугольными.

Все
эти знания непосредственным образом применялись во многих сферах жизнедеятельности
человека.

Так
до сих пор великое открытие учёного и философа древности Пифагора находит
прямое применение в нашей жизни.
Пифагоровы тройки – математический объект, известный человеку на протяжении
тысячелетий.

Однако, изучение способов их классификации ещё не
закончено и знания в этой области могут быть пополнены и расширены.

Фрагмент текста работы:

1. Пифагоровы тройки

В
теории чисел теорема Пифагора стала источником плодотворной идеи: найти
целочисленные решения алгебраических уравнений.

Пифагорова тройка — это набор целых чисел таких что Геометрически
такая тройка определяет прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.
Самая маленькая гипотенуза пифагоровой тройки равна 5. Другие две стороны этого
треугольника равны 3 и 4.

Здесь
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Пифагорова
тройка называется примитивной, если она не может быть
получена делением всех сторон на целое число из какой-то другой пифагоровой
тройки, то есть если являются взаимно простыми числами. Другими
словами, наибольший общий делитель (НОД) примитивной пифагоровой тройки

равен 1 [8].

Требуется
найти все примитивные тройки, для которых длина катетов не превышает некоторого
заданного числа k, упорядочим тройки по возрастанию площади
соответствующих треугольников, подсчитаем общее число таких троек. Максимальная длина катета 100.

Таблица 2- Пифагоровы треугольники.
Максимальная длина катета -100 3 4 5 6 5 12 13 30 7 24 25 84 8 15 17 60 9 40 41 180 11 60 61 330 12 35 37 210 13 84 85 546 20 21 29 210 16 63 65 504 28 45 53 630 33 56 65 504 48 55 73 1320 36 77 85 1386 39 80 89 1560 65 72 97 2340 60 91 109 2730 Всего таких треугольников -18

Ещё из древнейших времен египтянам была
известна замечательная тройка чисел, которая до настоящего времени используется
в архитектуре, эта тройка – 3, 4 и 5. Эта тройка чисел замечательна тем, что
эта цепочка чисел является длинами сторон прямоугольного треугольника и
подчиняются теореме Пифагора, выраженной формулой: (1).

В
архитектуре древне месопотамских
надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух
прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII
век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и
29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей [7].

2. Свойства пифагоровых троек

Определение
— 1. Взаимно простыми тройками чисел называются три числа из натурального ряда,
не имеющие общего множителя.

Определение
— 2. Пифагоровыми тройками чисел называются числа, равные длинам сторон
прямоугольного треугольника и удовлетворяющие великую формулу Пифагора. В
справочниках приводятся формулы для нахождения Пифагоровых троек чисел,
например одна из таких формул выражена в виде: (1)

Для
удобства вычислений эту формулу преобразуем следующим образом: Теперь
методом подбора чисел заполним основную таблицу Пифагоровых троек
чисел.

Таблица
3- Пифагоровы тройки взаимно простых чисел (

) 3 4 5 25 5 12 13 169 7 24 25 625 8 15 18 289 9 12
40 15
41 225
1681 11 60 61 3721 12 35 37 1369 13 84 85 7225 15 112 113 12769 … … … … Поскольку уравнение однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка.

Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом,
то есть — взаимно простые числа
[6].

Треугольник, стороны которого
равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник
является героновым, то
есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными.

Простейший
из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 Пифагоровы
тройки известны очень давно. В архитектуре древне месопотамских
надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух
прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII
век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29,
а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Пифагоровы
тройки – это тройки (

натуральных чисел для
которых выполняется равенство Например,
(3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек
состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный
треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским
треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр
равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

С
помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили
прямоугольный треугольник и прямой угол. Удобный и очень точный способ,
употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий.

Необходимо
взять шнур и три колышка, шнур располагают треугольником так, чтобы одна
сторона состояла из 3 частей, вторая из 4 долей и последняя из пяти таких
долей. Шнур расположится треугольником, в котором есть прямой угол.