Курсовая теория на тему Обращение матриц при помощи разбиения на клетки.

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теория матриц 5
1.1 Алгебра матриц 5
1.2 Общая информация по матрицам 10
Глава 2. Применение разбиения на клетки при обращении матрицы 13
2.1 Понятие клеточной матрицы 13
2.2 Пример процесса обращения матрицы при помощи разбиения на клетки 14
Заключение 20
Список использованных источников 22

Введение:

Актуальность исследования. Обращение матрицы – это достаточно распространенная операция в математике, что, прежде всего, используется в области линейной алгебры, аналитической геометрии, прикладной математики и так далее. В частности, очень удобно применять обратную матрицу для решения матричных уравнений и нахождения вида вектора в новом базисе. Обратные матрицы также используются в таких отраслях высоких технологий, как компьютерная графика и беспроводные коммуникации.
Очень часто при решении задачи необходимо быстро найти обратную матрицу. Для этого важно правильно и рационально подобрать метод поиска такой матрицы. Их очень много, но практически подавляющая часть просты лишь при решении матриц второго и третьего порядков. А если возникнет потребность работать с матрицами больше третьего порядка, то стандартные методы стают менее эффективными и громоздкими, то есть возникает потребность в более действенном методе. К таким методам принадлежит метод разбиения на клетки (блоки). Он дает возможность матрицу высшего порядка упростить к матрице низшего порядка (например, со 4-о на 2-й). Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Обращение матриц при помощи разбиения на клетки».
Объект исследования: методы обращения матрицы.
Предметом исследования является метод обращения матриц при помощи разбиения на клетки.
Цель исследования – рассмотреть понятие и сущность матрицы, клеточной матрицы, алгебру матриц, особенности обращения матриц при помощи разбиения на клетки.
Задачи исследования:
1. Исследовать и проанализировать научную литературу по данной теме работы.
2. Раскрыть сущность понятия «матрица», «клеточная матрица».
3. Рассмотреть алгебру матриц и другую общую информацию о них.
4. Описать и показать на примере процесс обращения матриц при помощи разбиения на клетки.
5. На основе полученных результатов сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: теоретический анализ литературы;
— практические методы: анализ, синтез, систематизация.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения,
двух глав, списка использованных источников. Общий объем составляет 23 страницы.  

Заключение:

Теоретический анализ учебных, научных, периодических источников по теме работы об обращении матриц при помощи разбиения на клетки, позволяет сделать такие выводы:
1. Любая матрица представляет собой совокупность чисел , которые образуют таблицу, содержащую m строк и n столбцов, где для любого элемента первый индекс означает номер строки, второй j – номер столбца. По количеству строк и столбцов матрицы бывают: прямоугольными, квадратными. Любая матрица имеет порядок.
За характером наполняющих элементов матрицы бывают: нулевыми, единичными, скалярными, диагональными. За характером способа размещения элементов матрицы делятся на: треугольные, симметрические, кососимметрические. Также две матрицы могут быть равными между собой и транспонированными.
Важно отметить особенности свойств матриц: умножение не коммутативно. Также необходимо помнить, что матрицу А можно умножить на матрицу В только тогда, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
2. К каждой матрице можно найти определитель. Важно знать и то, что не всякая матрица имеет обратную матрицу.
3. Клеточные матрицы возникают вследствии произвольного разбиения на клетки (блоки) некоторой изначально заданной матрицы.
Разбиение произвольной матрицы на клетки (блоки) может быть выполнено различными способами. В частном случае клеточная матрица может оказаться квазидиагональной.
Свойства операций над клеточными матрицами те же, что и для обычных матриц. То есть они слаживаются, перемножаются и умножаются на скаляр по тому же принципу, что и простые матрицы. При этом также важна размерность матриц.
4. Метод разбиения на клетки позволяет обращение матрицы высокого порядка свести к обращению матриц низшего порядка, являющихся частью основной матрицы.
Если невырожденная квадратная матрица A разбита на блоки:
.
то обратную матрицу также можно подать в блочном виде:
.
где
, ,
, .
5. Таким образом, поставленные задачи решены, цель достигнута.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теория матриц

1.1 Алгебра матриц

Определение 1. Матрицей называется совокупность чисел , которые образуют таблицу, содержащую m строк и n столбцов [3]:
. (1)
Для любого элемента первый индекс означает номер строки, второй j – номер столбца.
Сами матрицы обозначают большими латинскими буквами. Числа, образующие матрицу, называют ее элементами. Элементы матрицы обозначают малыми латинскими буквами с двойными индексами. Запись означает размер матрицы. Сокращенно матрицу можно записать так: .
Определение 2. Если число строк матрицы не равно числу столбцов, матрица называется прямоугольной [2].
Например, А и В:
, .
Определение 3. Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу ее столбцов. Число строк и столбцов квадратной матрицы называют ее порядком [5].
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: .