Курсовая теория на тему Некоторые приёмы решений тригонометрических уравнений

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 2
1 ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ 4
1.1 История тригонометрии 4
1.2 Основные тригонометрические формулы 9
2 РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 14
2.1 Основные методы решения тригонометрических уравнений 14
2.2 Решение тригонометрических уравнений с помощью единичного круга 18
2.3 Отбор корней тригонометрических уравнений методом спирали 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 28

Введение:

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».
В настоящее время изучению тригонометрических функций и тригонометрических уравнений уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
В математической и методической литературе принято общие методы решения уравнений и неравенств, их систем делить на три группы: метод разложения на множители; метод введения новых переменных; функционально-графический метод.
На практике учащимся нередко приходится сталкиваться с заданиями, в которых необходимо использовать несколько методов и приемов для их решения. При решении различных уравнений школьникам приходится сталкиваться с понятием «посторонних» корней, появляющихся в результате неравносильных преобразований данного уравнения. Как правило, это связано с расширением области допустимых значений неизвестной в решаемом уравнении. Для получения правильного ответа возникающие «посторонние» корни необходимо исключить (с этим связано понятие «отбор корней»). Аналогичная ситуация возникает и при решении тригонометрических уравнений и их систем. Однако она отличается от ситуаций, возникающих при решении дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических и других уравнений, тем, что при решении простейших тригонометрических уравнений возникают бесконечные серии решений, зависящих от целочисленного параметра.
Объектом исследования являются тригонометрические уравнения.
Предмет исследования – методы решения тригонометрических уравнений.
Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение методов решения тригонометрических уравнений.
В соответствии с целью, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:
1. Изучить историю тригонометрии;
2. Рассмотреть основные тригонометрические формулы;
3. Проанализировать основные методы решения тригонометрических уравнений;
4. Рассмотреть решение тригонометрических уравнений с помощью единичного круга;
5. Изучить отбор корней тригонометрических уравнений методом спирали.

Заключение:

Важным аспектом является изучение тригонометрии — как автономной ветви математики. Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине.
Изучение тригонометрических уравнений позволяет овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.
В проделанной мною работе была изучена история тригонометрии, рассмотрены общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе, формирование понятия «тригонометрических уравнений», охарактеризованы основные понятия формул тригонометрии, дано понятие решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, а так же методы решения тригонометрических уравнений.

Фрагмент текста работы:

1 ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
1.1 История тригонометрии
Тригонометрия, как и любая другая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, навигации, геодезии, архитектуры привели к необходимости разработки метода расчета элементов геометрических фигур по известным значениям их других элементов, найденным путем прямых измерений.
Чтобы решить конкретные астрономические проблемы, древние астрономы должны были делать сложные геометрические конструкции на сфере и решать вычислительные задачи, связанные с этими конструкциями. Для этого необходимо было создать специальный математический аппарат, с помощью которого можно было получить достаточно точные результаты. Тригонометрия стала именно таким аппаратом [4].
Происхождение тригонометрии восходит к древним временам. Задолго до новой эры вавилонские ученые смогли предсказать солнечные и лунные затмения. Это позволяет нам сделать вывод, что уже в те дни была известна некоторая самая простая информация из тригонометрии.
Стимулом для развития тригонометрии были, прежде всего, потребности в астрономии, вспомогательным разделом которой была тригонометрия на первом этапе ее развития. Потребовалось много времени, чтобы избавиться от этой зависимости, она превратилась в самостоятельный раздел математики.
Накопленный материал астрономических наблюдений требовал математической обработки. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II веке. До н.э. Именно ему приписывают создание тригонометрии как науки, границы между геометрией и астрономией. Гиппарх сначала изучил тригонометрический круг и рассчитал таблицу аккордов, соответствующих различным углам. Таблица аккордов в круге стала основным элементом греческой тригонометрии на плоскости. Эти таблицы не дошли до нас, но они были включены (в улучшенном виде) в работу «Великое сооружение» (Альмагест) известного александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во второй половине 2-го века. н е. Птолемей вывел соотношения между хордами в кругу (выраженные в устной форме в связи с отсутствием математической символики в то время), которые эквивалентны современным формулам для синуса с половиной и двойного угла, суммы и разности двух углов [3].
Однако в древней Греции тригонометрия не выделялась как самостоятельная наука, а считалась частью астрономии.
Важный вклад в развитие тригонометрии внес индийский математик в V — XII вв. н е. Хотя, как и древнегреческий, индийская тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии.