Курсовая теория на тему Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение обратной матрицы методом Гаусса

Содержание:

Введение 3
1. Общие принципы решения систем алгебраических уравнений прямыми методами 5
2. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса 15
Заключение 26
Список использованной литературы 28

Введение:

Благодаря прогрессу вычислительная техника, нашла эффективное применение при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. Системы линейных алгебраических уравнений применяются в различных дисциплинах, например, экономика, химия, физика и т.д. Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из самых важных и распространенных задач вычислительной математики, т.к. к решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные прикладные задачи. Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяются прямые и итерационные методы. Актуальность темы обусловлена широким применением данных методов при решении многочисленных практических задач.
Одним из наиболее эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса. Исторически метод Гаусса возник достаточно давно. Решение систем уравнений подобным способом было изложено ещё в древнем китайском математическом трактате под названием “Математика в девяти книгах”, представляющим собой разрозненное собрание решений различных прикладных математических задач. Некоторые главы этого трактата датируются 150 г. до н.э. В Европе же первым, кто занимался изучением этого метода, был Исаак Ньютон. Учёный изучил много книг по алгебре того времени и обнаружил, что ни в одной из них не предложено решений систем уравнений со множеством переменных, после чего он предложил свой способ решения. Его работа на эту тему была опубликована в 1707 г., в это время Ньютон уже больше не работал в Кембридже. После этого в течение века метод появился во многих книгах и учебниках по алгебре.
В 1810 году известный немецкий учёный и математик К. Ф. Гаусс опубликовал свои дополнения к этому методу вместе с другими своими работами по линейной алгебре, после чего метод с получением верхней треугольной матрицы стал широко известен под его именем.
Работа состоит из: введения, двух параграфов, заключения и списка литературы.
Цель курсовой работы – изучить прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Объект исследования: методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Предмет исследования: прямые методы решения систем алгебраических уравнений.
Задачи исследования:
1) изучение методов применяемых для решения линейных уравнений;
2) разработка программы, реализующей нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Заключение:

Исходя из рассмотренного в работе материала, можно сделать ряд выводов:
1) Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — это система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных, обращающий все уравнения системы в тождества.
2) Метод Гаусса оптимально подходит для решения любых видов систем линейных алгебраических уравнений. Данный метод обладает рядом достоинств в сравнении с другими методами:
• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Метод Гаусса идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). Иными словами, метод Гаусса представляет собой наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.
Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный — методом Гаусса-Жордана, отличающийся от первого только последовательностью исключения переменных.
3) Метод Жордана-Гаусса – это метод решения линейных уравнений путём полного исключения неизвестных. Данный метод является модификацией метода Гаусса, только в случае метода Жордана-Гаусса элементарные преобразования проводятся дальше.
Метод Жордана и Гаусса используется для решения систем линейных уравнений, а также для получения обратных матриц и нахождения ранга матрицы. Также этот метод весьма полезен и часто применяем для решения технических задач со множеством неизвестных. Для решения получаемых на основе технических задач систем уравнений выделяют наибольшие по модулю переменные для уменьшения ошибки погрешности, а затем производят поочередное удаление лишних переменных из строчек матрицы. Для решения технических задач методом Жордана-Гаусса также используются реализации на различных языках программирования, они позволяют получать более точные значения переменных.

Фрагмент текста работы:

Общие принципы решения систем алгебраических уравнений прямыми методами
Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему :

a_11 x_1+a_12 x_2+a_13 x_3+⋯+a_1n x_n=b_1
a_21 x_1+a_22 x_2+a_23 x_3+⋯+a_2n x_n=b_2
……………………………………………..
〖 a〗_m1 x_1+a_m2 x_2+a_m3 x_3+⋯+a_mn x_n=b_m

содержащую m уравнений и n неизвестных (x1,x2,…,xn). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.
Параметры a_ij (i=1,m, j=1,n) называют коэффициентами, а b_i (i=1,m) – свободными членами СЛАУ. В ряде случаев, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m уравнений и n неизвестных .
Если все свободные члены b_i=0 (i=1,m), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.
Решением вышеприведённой СЛАУ называют всякую упорядоченную совокупность чисел (α_1, α_2,…, α_n), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x_1, x_2,…, x_n, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), то есть x_1=x_2=⋯=x_n.
Если подобная СЛАУ имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Рисунок 1. Типология СЛАУ по методу решения
Рассмотрим следующую СЛАУ:
3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11
2x_1+10x_4-3x_5=-65
3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=0

В данном случае мы имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую 3 уравнения и 5 неизвестных: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5. Можно, сказать, что задана система 3×5 линейных уравнений.
Коэффициентами приведенной выше системы выступают числа, стоящие перед неизвестными. К примеру, в первом уравнении эти числа таковы: 3,−4,1,7,−1. Свободные члены системы представлены числами 11,−65,0. Поскольку среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то данная СЛАУ является неоднородной.