Курсовая теория на тему Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Содержание:

Введение:

Благодаря прогрессу вычислительная техника, нашла
эффективное применение при проведении трудоемких расчетов в научных
исследованиях. Системы линейных алгебраических уравнений применяются в различных
дисциплинах, например, экономика, химия, физика и т.д. Решение систем линейных
алгебраических уравнений является одной из самых важных и распространенных
задач вычислительной математики, т.к. к решению систем линейных уравнений
сводятся многочисленные прикладные задачи. Для решения систем линейных
алгебраических уравнений применяются прямые и итерационные методы. Актуальность
темы обусловлена широким применением данных методов при решении многочисленных
практических задач.

Одним из наиболее эффективных методов решения
систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса. Исторически
метод Гаусса возник достаточно давно. Решение систем уравнений подобным
способом было изложено ещё в древнем китайском математическом трактате под
названием «Математика в девяти книгах», представляющим собой разрозненное
собрание решений различных прикладных математических задач. Некоторые главы
этого трактата датируются 150 г. до н.э. В Европе же первым, кто занимался
изучением этого метода, был Исаак Ньютон. Учёный изучил много книг по алгебре
того времени и обнаружил, что ни в одной из них не предложено решений систем
уравнений с множеством переменных, после чего он предложил свой способ решения.
Его работа на эту тему была опубликована в 1707 г., в это время Ньютон уже
больше не работал в Кембридже. После этого в течение века метод появился во
многих книгах и учебниках по алгебре.

В 1810 году известный немецкий учёный и математик
К. Ф. Гаусс опубликовал свои дополнения к этому методу вместе с другими своими
работами по линейной алгебре, после чего метод с получением верхней треугольной
матрицы стал широко известен под его именем.

Работа состоит из: введения, двух параграфов,
заключения и списка литературы.

Цель
курсовой работы – изучить прямые методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.

Объект исследования:
методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Предмет
исследования: прямые методы решения систем алгебраических уравнений.

Задачи
исследования:

1) изучение методов применяемых для решения
линейных уравнений;

2) разработка программы, реализующей нахождение
обратной матрицы методом Гаусса.

Для решения поставленных задач применялись
следующие методы исследования:
теоретический анализ, компьютерное моделирование

Заключение:

1. Общие принципы решения систем
алгебраических уравнений прямыми методами

Под системой линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) подразумевают систему: …………………………………………….. содержащую m уравнений и n
неизвестных (

,

,…,

). Прилагательное «линейных» означает, что все
неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры (i=1,m, j=1,n) называют коэффициентами, а (i=1,m) – свободными членами СЛАУ. В ряде
случаев, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n
система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m
уравнений и n неизвестных.

Если все свободные члены (i=1,m), то СЛАУ называют однородной. Если
среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют
неоднородной.

Решением вышеприведённой СЛАУ называют всякую
упорядоченную совокупность чисел (

,

,…,

), если элементы этой совокупности, подставленные в
заданном порядке вместо неизвестных ,

,…,

, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение:
нулевое (в иной терминологии – тривиальное), то есть .

Если подобная СЛАУ имеет хотя бы одно решение, ее
называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ
имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество
решений – неопределённой. Рисунок 1.
Типология СЛАУ по методу решения

Фрагмент текста работы:

1. Общие принципы решения систем
алгебраических уравнений прямыми методами

Под системой линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) подразумевают систему: …………………………………………….. содержащую m уравнений и n
неизвестных (

,

,…,

). Прилагательное «линейных» означает, что все
неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры (i=1,m, j=1,n) называют коэффициентами, а (i=1,m) – свободными членами СЛАУ. В ряде
случаев, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n
система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m
уравнений и n неизвестных.

Если все свободные члены (i=1,m), то СЛАУ называют однородной. Если
среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют
неоднородной.

Решением вышеприведённой СЛАУ называют всякую
упорядоченную совокупность чисел (

,

,…,

), если элементы этой совокупности, подставленные в
заданном порядке вместо неизвестных ,

,…,

, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение:
нулевое (в иной терминологии – тривиальное), то есть .

Если подобная СЛАУ имеет хотя бы одно решение, ее
называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ
имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество
решений – неопределённой. Рисунок 1.
Типология СЛАУ по методу решения