Курсовая теория на тему Логарифмические структуры как средство совершенствования математической подготовки учащихся.

Содержание:

Введение 3
1. Логарифмы 5
2. Логарифмические уравнения 9
3. Логарифмические неравенства 14
4. История открытия логарифма 16
5. Логарифмическая линейка 21
6. Анализ изучение логарифмов в школьной программе 30
7. Цели изучения логарифмов в школьной программе 38
8. Применение логарифмов 40
Заключение 43
Список литературы 44

Введение:

Математические знания нужны человеку фактически в каждой области деятельности, и эта потребность оказывает положительное влияние на развитие науки и техники. Математика в течение всего времени школьного обучения непрерывно помогает учащимся выяснить все аспекты взаимоотношений в окружающей жизни, дает возможность использовать изученные теоретические положения на практике. Овладение фактически любым ремеслом невозможно без математического знания. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в современном мире требуется достаточно сильная математическая подготовка.
Одна из тем школьного курса математики – «логарифм и логарифмическая функция». Эта тема укоренилась в курсе алгебры, но она очень трудна для учащихся из-за разнообразия представленного материала. Изучение логарифмических функций, согласно федеральному государственному образовательному стандарту, включено в школьный курс математики.
В школьном курсе «Алгебра и начало анализа» учащиеся систематически изучают экспоненциальные и логарифмические функции и их свойства, идентичные преобразования логарифмических и экспоненциальных выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями и утверждениями.
По теме «логарифмическая функция» программа включает в себя рассмотрение и изучение следующих вопросов: логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств. Число е и натуральный логарифм.
Для обучающихся очень важно овладеть навыками решения логарифмических уравнений очень важно, так как у них повышаются умственные и творческие способности, обогащается математическая культура, а так же развиваются способности к логическому мышлению, происходит повторение, расширение и более глубокое усвоение учебного материала.
Для того чтобы обучающиеся смогли успешно пройти итоговую аттестацию в форме ЕГЭ по математике, необходимо на уроках уделять значительное внимание решению логарифмических уравнений. При изучении данной темы на уроках алгебры плодотворная учебная деятельность обучающихся, а так же заинтересованность их темой возможна только при условии использования на уроках определенных приемов, комплекса задач и упражнений, поэтому данная тема является актуальной.
Целью работы является рассмотрение различных подходов к изучению логарифмической функции в школьном курсе математике.
Основные задачи работы:
 изучить основные характеристики логарифма;
 изучить логарифмические уравнения;
 рассмотреть логарифмические неравенства;
 рассмотреть историю открытия логарифма;
 изучить логарифмическую линейку;
 провести анализ изучения логарифмов в школьной программе;
 рассмотреть цели изучения логарифмов в школьной программе;
 рассмотреть применение логарифмов.

Заключение:

В данной работе мы рассмотрели основные понятия, связанные с логарифмом, логарифмическими уравнениями и неравенствами.
Подводя итоги данной работы, можно сделать следующие выводы: Логарифмические и показательные уравнения и неравенства представляют интерес для учащихся. При решении логарифмических и показательных уравнений и неравенств развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышаются творческие и умственные способности. Изучение уравнений и неравенств такого типа очень важно в школьном курсе математики, т.к. примеры, содержащие показательные уравнение и неравенства, встречаются в заданиях ЕГЭ, не только в составе логарифмических и показательных уравнений и неравенств, но и в системах и смешанных уравнений.
Но проанализировав современные учебники 10-11 классов по изучению темы «Логарифмы», мы пришли к выводу, что не во всех учебниках достаточное количество заданий для закрепления темы, а так же мало заданий повышенной сложности, которые встречаются во второй части экзамена (профильный уровень). И в связи с большим разнообразием и сложностью заданий, встречающихся в ЕГЭ по математике, а также с недостатком времени на освоение данной темы в школьном курсе, учащимся не всегда легко справляться с этими заданиями.
По нашему мнению, на уроках математики следует больше уделять времени решению логарифмических уравнений и неравенств на уроках алгебры, т.к. это поможет учащимся сдать ЕГЭ, а значит поступить в вуз.
Применение логарифмов с целью удовлетворения практической потребности человека – это неотъемлемая часть сегодняшней жизни. Логарифмы позволяют уменьшить и упростить трудное вычисление, они также лежат в основе физического и сейсмологического процесса, происходящего в природной среде, помогают установить раздражительность человека в определенной ситуации.

Фрагмент текста работы:

Определим понятие логарифма и его свойства из школьного курса математики. Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Данное уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают logab, т.е. alogab=b [3].
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где a>0,a≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.
Например, log_2⁡8=3,так как 2^3=8;log_3⁡〖1/9〗=-2,так как 3^(-2)=1/9.
Определение логарифма можно кратко записать так:
a^log_b⁡〖a 〗 =b
Это равенство справедливо при b>0,a>0,a≠1.
Его обычно называют основным логарифмическим тождеством [6].
Например, 4^log_4⁡5 =5. С помощью основного логарифмического тождества можно показать, например, что x=log_3⁡80 является корнем уравнения 3^x=80. В самом деле, 3^log_3⁡80 =80.
Действие нахождения логарифма называют логарифмированием.
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть a>0,a≠1,b>0,c>0,r- любое действительное число.
Тогда справедливы формулы
log_a⁡〖(bc)〗=log_a⁡b+log_a⁡c (1)
log_a⁡(b/c)=log_a⁡b log_a⁡c (2)
log_a⁡〖b^r 〗=rlog_a⁡b (3)
По основному логарифмическому тождеству
a^log_a⁡〖b 〗 =b (4)
a^log_a⁡〖c 〗 =c (5)
1) Перемножая равенства (4) и (5), получаем
a^(log_a⁡〖b 〗+log_a⁡c )=bc
Откуда по определению логарифма log_a⁡〖b 〗+log_a⁡c=log_a⁡bc
Формула (1) доказана.
2) Разделив равенства (4) и (5), получим
a^(log_a⁡〖b 〗-log_a⁡c )=b/c
Откуда по определению логарифма следует формула (2).
3) Возводя основное логарифмическое тождество a^log_a⁡〖b 〗 =b в степень с показателем r, получаем a^rlog_a⁡〖b 〗 =b^r откуда по определению логарифма следует формула (3) [7].
В математике и ее приложениях часто встречается логарифмическая функция
y=log_a⁡x
Где а – заданное число, a > 0, a≠1.
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, так как выражение log_a⁡x имеет смысл только при x > 0.
2) Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел. Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что log_a⁡x=b, т.е. уравнение log_a⁡x=b имеет корень. Такой корень существует и равен x=a^b, так как log_a⁡〖a^b 〗=b.