Курсовая теория на тему Классификация кривых второго порядка

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И СПОСБЫ ИХ ЗАДАНИЯ 5
1.1. Канонические представления кривых второго порядка и их свойства. 5
1.2. Кривые второго порядка в полярных координатах и их параметрическое задание. 11
2. АНАЛИЗ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ИНВАРИАНТОВ 14
2.1. Общие уравнения кривых второго порядка и инварианты. 14
2.2. Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов. 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 23

Введение:

Как отмечалось в [1, с. 27], «общая задача аналитической геометрии состоит в изучении геометрических фигур с помощью алгебры на основе применения координат». При этом в аналитической геометрии можно выделить две основные задачи. Первая задача состоит в отыскании уравнений или неравенств для аналитического представления геометрических объектов. Обратная первой, вторая задача должна ответить на вопрос, какие геометрические фигуры представляются теми или иными уравнениями. Вопросы классификации кривых второго порядка полностью согласуются с этими двумя задачами.
Конические сечения, которые образовывают различные геометрические фигуры такие как: эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур изучались еще в древней Греции. Значительно позже, только в XVII веке после открытий Ньютона и Кеплера стало известно, что планеты солнечной системы движутся по эллиптическим траекториям, а брошенный под углом к горизонту камень или пушечный снаряд летят по параболе. Позже стало известно, что в зависимости от начальной скорости в поле притяжения Земли тело может падать, двигаться вокруг Земли по окружности, при увеличении скорости – по эллипсу, при больших скоростях тело, преодолевая земное притяжение, устремляется в открытый космос по параболе, а при скорости, большей второй космической по гиперболе.
Пусть – некоторая функция действительных переменных , представляющая собой полином степени . Тогда равенство является алгебраическим уравнением степени . Принято говорить, что в этом случае алгебраическое уравнение задает в декартовых координатах алгебраическую кривую го порядка. Например, значение приводит к линейным уравнениям, которые задают кривые первого порядка – прямые линии на плоскости. Вместе с тем, в общем случае, уравнение может задавать и точку, и пустое множество [1, с. 29].
В настоящее время алгебраические кривые второго порядка, хорошо изучены. Различные свойства таких геометрических объектов рассматриваются в специальных монографиях [2, 3], а специальные разделы, посвященные таким кривым, обязательно присутствуют в справочниках [4, с. 64–69], учебных пособиях по аналитической геометрии [1, с. 32–57; 5, с. 82–143; 6, с. 446-454: 7, с. 443-456; 8, с. 213-259; 9, с. 72-99] и других научных изданиях. Любому старшекласснику известны такие геометрические фигуры как эллипс, окружность, парабола, гипербола. Однако, полное и математически обоснованное исследование свойств кривых второго порядка требует привлечения аппарата высшей математики.
Настоящая курсовая работа посвящена вопросам классификации кривых второго порядка. Известно, что такие кривые обладают как общими, так и различными свойствами, и это позволяет проводить их классификацию различными способами. В последние десятилетия курс аналитической геометрии в высших учебных заведениях излагается совместно с курсом линейной алгебры [6, с. 3-4: 7, с. 3; с. 3-5]. В этих курсах, в частности, рассматриваются линейные пространства и операторы, группы преобразований. Такой подход дает возможность проводить классификацию с применение понятий инвариантов преобразований и квадратичных форм.
Работа имеет квалификационный характер, однако это не умаляет ее актуальности, связанной с анализом различных подходов к классификации кривых второго порядка. Целью работы и является проведение такого анализа, а в задачи работы входит изложение общих свойств рассматриваемых кривых, позволяющих провести такой анализ.
Курсовая работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы.
В первом разделе даются определения окружности, эллипса, гиперболы и параболы, связанные с их геометрическими свойствами; рассматриваются другие объектов, которые задаются уравнениями второго порядка, и различные способы задания кривых.
Во втором разделе рассматривается общий подход к исследованию кривых второго порядка, основанный на привлечении инвариантов геометрических преобразований. Приводится доказательство теоремы, устанавливающей точное число типов различных кривых второго порядка.
В заключении сформулированы основные полученные результаты. При написании курсовой работы использованы результаты работ [1–9].

Заключение:

Проведенные в курсовой работе исследования полностью соответствуют поставленной задаче: выполнена классификация кривых второго порядка. Классификация проведена на основе общих уравнений кривых второго порядка с привлечение понятий инвариантов, а также непосредственно при рассмотрении канонических уравнений кривых.
Доказана теорема, показывающая, что все кривые второго порядка можно разделить на 9 типов, которые в свою очередь делаться на невырожденные и вырожденные кривые. К первым относятся кривые, для которых первый инвариант общих уравнений кривых второго порядка отличен от нуля (эллипс, гипербола и парабола), а ко вторым – такие кривые, для которых этот инвариант обращается в ноль (пара пересекающихся действительных или мнимых прямых, параллельные и сливающиеся прямые, а также мнимый эллипс).
При этом тип невырожденной кривой задает ее эксцентриситет. Для эллипсов , для гипербол – и для парабол . Это позволяет записать единое для всех трех типов кривых уравнение, как в декартовых, так и в полярных координатах.
Также отметим, что все кривые также делятся на центральные (эллипс, гипербола, пары пересекающихся действительных или мнимых прямых), и не имеющие центра кривые (парабола, параллельные и слившиеся прямые 

Фрагмент текста работы:

1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И СПОСБЫ ИХ ЗАДАНИЯ
В настоящем разделе формулируются определения окружности, эллипса, гиперболы и параболы, связанные с их геометрическими свойствами; рассматриваются отличные от них другие объекты, задаваемые уравнениями второго порядка, а также различные способы задания кривых.

1.1. Канонические представления кривых второго порядка и их свойства.
При изложении этого пункта будем следовать работам [1, с. 32-57, 2, с. 3-11]. В общем случае кривые или области на плоскости определяют как геометрическое место точек, обладающих определенными общими свойствами. Эллипс, гиперболу и параболу отличают друг от друга их некоторые геометрические свойства, что позволяет дать такие определения.
Эллипс – это кривая (рис.1.1), образованная точками , у которых сумма расстояний от двух заданных точек и фиксирована (и больше расстояния между двумя указанными точками). Точки и называются фокусами эллипса. Если они сливаются, то условие (1.1) сводится к тому, что и точки образуют окружность. Обозначим эту постоянную величину через , а расстояние между фокусами через . Тогда
. (1.1)

Рис. 1 Эллипс.

Если фокусы эллипса находятся на оси на равных расстояниях от начала координат в точках и , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:
. (1.2)
Параметры и определяют значения большой и малой полуосей эллипса. Расстояния , произвольной точки эллипса от фокусов эллипса называются ее фокальными радиусами, а отношение половины фокусного расстояния эллипса к его большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой . При этом имеют место соотношения
, , . (1.3)
Так как , то для эллипса .
Уравнению (1.2) удовлетворяют координаты ( ), поэтому эллипс обладает центральной симметрией относительно точки и симметричен относительно осей координат, которые проходят через центр эллипса и называются центральными.
Нетрудно показать, что все координаты эллипса удовлетворяют неравенствам . Это означает, что все точки эллипса принадлежат прямоугольнику, который определяется системой этих неравенств.