Курсовая теория на тему Интегральные функции и их приложения.

Содержание:

Введение. 2

1. Эйлеровы
интегралы (функции Γ и B) 4

1.1 Гамма-
и  бета-функции Эйлера. Свойства.
Следствия. 4

1.2
Вычисление некоторых определённых интегралов с помощью Γ — и B-функции  13

2.Основные
свойства дробных интегралов и производных. 15

2.1 Дробная
производная Маршо. 15

2.2
Приближенное вычисление дробной производной. 18

Заключение. 20

Список
использованной литературы.. 22

Введение:

Развитие
современной техники и технологий создания материалов опирается на исследования
конструкций и материалов, способных эффективно работать в различных областях
при действии сложных нагрузок,
поэтому широкое
распространение получил направленный синтез материалов с заданными свойствами –
огнестойкостью, высокой прочностью и пластичностью.

Необходимость
применения более адекватных математических методов, способных с высокой
точностью описать и спрогнозировать параметры исследуемых процессов, обусловило
повышение внимания к разработке математических методов моделирования
напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов с применением
производных дробного порядка.

Идея
о распространении интегрирования и дифференцирования на дробные порядки
существует с самого зарождения интегрального и дифференциального исчислений, несмотря на обширную область возможного
применения, до недавнего времени этой области уделялось мало внимания.

К
примеру, дробное исчисление используется в моделях вязкоупругих тел, сплошных
сред с памятью, трансформации температуры и влажности в слоях атмосферы, в
уравнениях диффузии и в других областях.

Дробные производные и интегралы были предметом
внимания еще Лейбница и Эйлера,
многие известные математики мирового уровня прошлого и настоящего времени,
включая Лиувилля, Абеля, Римана, Летникова, Вейля, Адамара оказали
основополагающее влияние на развитие дробного интегродифференцирования,
ставшего самостоятельным направлением в математическом анализе.

Основополагающими
для нового раздела анализа следует считать работы Абеля и Лиувилля, изданные в
первой половине XIX в. Следует также отметить значительную роль работ Римана в
развитии дробного анализа. Он дал определение дробного интеграла, которое
впоследствии будет названо его именем,  его
идеи до сих пор служат в качестве одного из основных представлений дробного
интеграла.

Развитие,
исследование и применение производных и интегралов произвольного порядка,
обусловлено их  упругости.

Как и большинство других интегродифференциальные,
дробно-интегральные и дробно-дифференциальные уравнения не решаются точно.
Наличие в уравнениях дробной производной по времени интерпретируется как
отражение особого свойства описываемого процесса — памяти, или, в случае
стохастического процесса.

Важность
исследования свойств операторов дробного интегрирования и дифференцирования
обусловлена их обширным применением в прикладных задачах физики. В работе
рассмотрены дробные производные Маршо.

Гамма-функция
играет важную роль в теории интегрирования и дифференцирования поскольку
является обобщением понятия факториала на случай чисел, не являющихся
натуральными.

Бета-функция
в общем случае определяется через гамма-функции.

Объектом
исследования являются операции дробного интегрирования и дифференцирования.

Предметом
рассмотрения является дробная производная, методы дифференциального и
интегрального исчислений.

Цель
данной работы состоит в изучении дробной производной, бета — и гамма-функций. В
работе приведены сведения из теории дробного интегродифференцирования.

Заключение:

Дробное исчисление как область математического
анализа имеет солидную историю и весомое содержание. Производные и интегралы
дробного порядка находят применение в различных разделах математики: теорией
функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Как было показано,
необычайно разнообразны приложения аппарата дробного исчисления и в других
науках.

На сегодняшний день дробный анализ активно
используется в разнообразных научных областях: нелинейные биологические
процессы и теория управления, физика твердого тела и теория поля, динамика
жидкости и турбулентность и др.

Функция
Γ(𝑧) аполитична всюду за исключением некоторых
точек, где 𝑧
принимает целые отрицательные значения, и точки 𝑧 = 0, в которых функция имеет полюса
первого порядка.

Отсюда
следует, функция которая является целой и имеет нули
первого порядка в следующих точках Справедливы
следующие соотношения:

Фрагмент текста работы:

1. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B)

1.1
Гамма- и  бета-функции Эйлера. Свойства.
Следствия

Эйлеровым
интегралом первого рода (бета-функцией) называется функция вида Теорема
(о свойствах интеграла первого рода)

Бета-функция
имеет следующие свойства:

1. Область определения

Для
сходимости интеграла (1.1) при необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
следующее: ,

а
для сходимости интеграла при необходимо и достаточно, чтобы 2. Симметричность 3. Формула
понижения

При 4. Интегральное
представление бета- функции Эйлеров
интеграл второго рода (гамма-функция)

Определение

Γ(α)

(1.2)

Функция,
определённая интегралом, называется эйлеровым интегралом второго рода
(гамма-функция).

Теорема
(о свойствах гамма-функции Эйлера)

Гамма-функция
имеет следующие свойства:

1. Область определения

Для
сходимости интеграла (2) в нуле требуется, чтобы выполнялось условие На
бесконечности интеграл (2) сходится при любом α∈R, так как множитель убывает
на бесконечности быстрее любой степени переменной Таким
образом, функция (2) определена при