Курсовая теория на тему Гипербола и ее свойства

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….. ……………. 3
1. ГИПЕРБОЛА КАК КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА……………………..…… 5
1.1. Определения и основные понятия. Вывод канонического уравнения гиперболы.……………….……………………………………………………. 5
1.2. Теорема о фокальных радиусах гиперболы…………………………………. 8
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ……………..…………….. 10
2.1. Исследование формы гиперболы……………………………..……………. 10
2.2. Директрисы и касательные гиперболы….…………………………………. 12
2.3. Оптические свойства гиперболы………………………….. ……………… 14
3. ЗАДАЧИ..……………………………………………………………………………. 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………………
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………………………..

Введение:

Гипербола, наряду с эллипсом и параболой, является одной из важнейших невырожденных кривых второго порядка [1]. В математику эту фигуру ввели в рассмотрение древние греки, исследуя различные виды конических сечений, а сам термин «гипербола» (от греческого ὑπερβολή – избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. – ок. 190 год до н. э.) [2]. В XVII веке после открытий Ньютона и Кеплера было установлено, что тело, движущееся со скоростью, превышающей определенную величину, покидает солнечную систему именно по гиперболической траектории. С другой стороны, гипербола, как это известно, каждому школьнику младших классов, это просто график обратной пропорциональности, то есть функции .
Пусть – некоторый полином второй степени. Тогда алгебраическое уравнение в декартовых координатах задает алгебраическую кривую второго порядка. В настоящее время алгебраические кривые второго порядка, хорошо изучены. Различные свойства таких геометрических объектов рассматриваются в специальных монографиях [2, 3], а специальные разделы, посвященные этим кривым, обязательно присутствуют в справочниках [4, с. 64–69], учебных пособиях по аналитической геометрии [1, с. 32–57; 5, с. 82–143; 6, с. 446-454: 7, с. 443-456; 8, с. 213-259; 9, с. 72-99] и других научных изданиях.
В настоящей курсовой работе рассматривается достаточно частный вопрос теории кривых второго порядка – свойства гиперболы, а сама работа имеет реферативный характер, так как эти вопросы практически полностью изучены. Однако это не умаляет ее актуальности, связанной с анализом различных подходов при установлении основных свойств гиперболы. Целью работы является систематизация характерных свойств гиперболы, а в задачи работы входит изложение этих свойств и методов, позволяющих провести такой анализ, а также рассмотрение некоторых характерных примеров задач, решение которых основывается на использовании свойства гиперболы.
Курсовая работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы.
В первом разделе формулируются различные определения гиперболы, связанные с ее геометрическими свойствами и выбором системы координат; вводятся основные понятия, используемые в теории кривых второго порядка; выводится каноническое уравнение гиперболы и доказывается теорема о фокальных радиусах.
Во втором разделе исследуется форма гиперболы, определяются уравнения асимптот, директрис и выводится уравнение касательных. Также рассматриваются оптические свойства гипербол.
В третьем разделе приводятся примеры задач, решение которых основано на использовании свойств гипербол.
В заключении сформулированы основные полученные результаты. При написании курсовой работы использованы результаты работ [1–9].
1.

Заключение:

Проведенные в курсовой работе исследования полностью соответствуют поставленной задаче: проведение систематизации основных свойств гиперболы. Получено уравнение гиперболы в полярных координатах, а также параметрическое представление кривой (в канонической системе координат). Анализ проведен на основе общих уравнений кривых второго порядка, а также непосредственно при рассмотрении канонических уравнений кривых. При этом гиперболу характеризует ее эксцентриситет .
В соответствии с планом в курсовой работе сформулированы различные определения гиперболы, выведено каноническое уравнение, доказана теорема о фокальных радиусах гиперболы, выведены уравнения директрис и касательных к гиперболе, а также доказано оптическое свойство гиперболы. Приведены решения характерных геометрических задач, связанных мс гиперболой.
Таким образом, полученные в работе результаты могут быть использованы при первоначальном знакомстве с такой кривой второго порядка, как гипербола..

Фрагмент текста работы:

2. ГИПЕРБОЛА КАК КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В настоящем разделе формулируются различные определения гиперболы; вводятся понятия, используемые в тории кривых второго порядка; выводится каноническое уравнение гиперболы и доказывается теорема о фокальных радиусах.

1.1. Определения и основные понятия. Вывод канонического уравнения гиперболы.
В начале раздела сформулируем несколько важных определений.
Определение 1. Кривая второго порядка – это геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
, (1.1)
в котором, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля.
Сформулированное определение инвариантно относительно выбора декартовой системы координат. Действительно, при переходе к новой системе координат с помощью стандартных геометрических преобразований (параллельного переноса и поворота)
, (1.2).
Коорди,
наты в одной системе выражаются через координаты в другой системе линейно, и поэтому, подстановка (1.2) в уравнение (1.1)) не может повышать его степень, также как присутствующие в уравнении члены второй степени не могут и исчезнуть.
Уравнение (1.1) называется общим уравнением кривой второго порядка.
Одна и та же кривая в разных системах координат может задаваться различными уравнениями, поэтому, выбирая должным образом систему координат, уравнение (1.1) можно упростить. Системы координат, в которых уравнение (1.1) принимает наиболее простой вид, как и само уравнение, называются каноническими [3]. Приведем определение гиперболы, основанное на ее геометрических свойствах.
Определение 2. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых по абсолютной величине до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, взятая по абсолютному значению, есть величина постоянная.
Постоянная величина, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами, принимается равной , а расстояние между фокусами – . Таким образом, по определению, для любой точки гиперболы, и только для точек гиперболы, имеют мес
то соотношения: