Курсовая теория на тему Функция Мёбиуса и её свойства.

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект применения функции Мебиуса и ее свойств 5
1.1 Мультипликативные функции и их свойства 5
1.1.1 Суммы, распространяемые на делители числа 8
1.1.2 Функция Эйлера 10
1.2 Функция Мебиуса и ее свойства 14
1.2.1 Определение и примеры 14
1.2.2 Свойства функции Мебиуса 18
1.3 Закон обращения числовых функций 20
Глава 2. Применение функции Мебиуса и ее свойств 23
2.1 Математические задачи, которые решаются с помощью функции Мебиуса и ее свойств 23
Заключение 28
Список использованной литературы 30

Введение:

Актуальность темы. Функция Мебиуса является одним из фундаментальных понятий математики, поэтому и появились известные на сегодня элементарные функции, неэлементарных, функционалы и др.
Существует множество классификаций функций в соответствии с их свойствами, но одними из наиболее естественных является функции, которые связаны с теорией чисел, ведь теория чисел издавна была двигателем фундаментальной математики (Теорема Ферма).
Сегодня математика расширяет круг интересов молодых ученых, позволяя им исследовать множества функций с наперед заданными свойствами, которые исходят из функциональных уравнений, но никогда не стоит забывать и о функции, которые дали начало современной математической мысли.
Данная курсовая работа является работой по теории чисел. В ней мы исследуем свойства функции Мебиуса, будем исследовать структуры некоторых последовательностей и рядов, докажем формулы связи данной функции с другими числовыми мультипликативными функциями. Курсовая посвящена изучению свойств функции, изложенных в соответствующих формулировках и результатах теорем.
Цель исследования: изучить основные свойства функции Мебиуса и ее сущность.
Объект исследования: математика.
Предмет исследования: функция Мебиуса.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. Исследовать и изучить теоретические аспекты применения функции Мебиуса, ее свойств и их сущность;
3. Привести примеры применения функции Мебиуса и ее свойств на практике.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 30 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можем сделать следующие выводы:
1. Числовая функция называется мультипликативной, если:
— для некоторого натурального числа выполняется следующее условие: ;
— для произвольных натуральных взаимно простых чисел и справедливое равенство: .
Также выполняется свойство:
— если функция – мультипликативная, то выполняется условие .
— если и – мультипликативные функции, то их произведение – мультипликативная функция.
— если функция – мультипликативная функция, а – попарно взаимно простые числа, то выполняется следующее равенство:
.
— основное свойство мультипликативных функций.
Пускай:

— это каноническая форма натурального числа n, — мультипликативная функция, — все натуральные делители числа n.
Тогда имеем:

2. Функция Мебиуса обозначена таким образом:

3. Теорему 3 называют принципом «обращения» Дедекинд-Лиувилля в честь немецкого математика Рихарда Дедекинд(1831-1916) и французского математика Жозефа Лиувилля (1809-1882).
В силу равенства:

Применяя принцип «обращения» Дедекинд-Лиувилля, получим равенство:

Теорема 3. Пусть g— функция, данная на множестве натуральных чисел и . Тогда g может быть выражено через функцию f с помощью соотношения: .
 

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретический аспект применения функции Мебиуса и ее свойств

1.1 Мультипликативные функции и их свойства

Определение 1. Числовая функция называется мультипликативной, если [1]:
— для некоторого натурального числа выполняется следующее условие: ;
— для произвольных натуральных взаимно простых чисел и справедливое равенство: .
Свойство 1. Если функция – мультипликативная, то выполняется условие [1].
Доказательство. Пусть – натуральное число такое, что выполняется . Тогда имеем:
.
Отсюда следует, что .
Свойство 2. Если и – мультипликативные функции, то их произведение – мультипликативная функция [1].
Доказательство. Пусть и . Тогда имеем:
— ;
— .
Если и – натуральные числа такие, что они взаимно простые, то выполняется:

,
то есть функция – мультипликативная, что и нужно было доказать.
Свойство 3. Если функция – мультипликативная функция, а – попарно взаимно простые числа, то выполняется следующее равенство [2]:
.
Доказательство. Для доказательства используем метод математической индукции. Для k=1,2 утверждение справедливо. Предположим, что оно справедливо и для k – 1, и докажем его справедливость для k.
Поскольку для всех , то . Тогда имеем:
.
По индукционному предположению:
,
итак:

Учитывая данный факт, можно утверждать, что данное свойство доказано.
Последствие. Припустим, что – это каноническая форма натурального числа n, – мультипликативная функция. Тогда имеем:
.
Полученное следствие непосредственно вытекает непосредственно из свойства 3.
Свойство 4. (основное свойство мультипликативных функций)
Пускай [1]:

— это каноническая форма натурального числа n, — мультипликативная функция, — все натуральные делители числа n.
Тогда имеем:
(1)
Доказательство. Если раскрыть скобки в правой части равенства (1), то в результате получим сумму слагаемых вида:

где для всех . Поскольку функция мультипликативная, то есть справедливо равенство:
,
где .
Согласно следствию из основной теоремы арифметики, выражение , где , , охватывает множество всех делителей числа . Из этого следует доказывание тождества (1).

1.1.1 Суммы, распространяемые на делители числа
A) Особенно важную роль в теории играют мультипликативные функции. Функцию называется мультипликативной, если выполнены следующие условия [2]:
1.Функцию определена для всех целых положительных n и не превращается в 0 хотя бы при одном таком n.
2. Для любых положительных взаимно простых и имеем:
.
Пример 1. Нетрудно увидеть, что мультипликативною будет функция:
,
, где s – любое действительное или комплексное число.
Б) Из указанных свойств функции в частности следует, что:
.
Действительно, пусть не равно нулю, тогда:
,
то есть .
Кроме того, вытекает следующее важное свойство: если и – мультипликативные функции, то и мультипликативная функция. Действительно, находим:
.
Кроме того, при находим:

.
В) Пусть мультипликативная функция и — каноническое разложение числа n. Тогда, обозначаем символом сумму, распространенную на все делители d числа n, имеем [2]:

(в случае n=1 правую часть считаем как равную 1).
Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки в правой части. Тогда получим сумму слагаемых вида:
,
,
причем ни один такой слагаемое не будет пропущено и не повторится более одного раза, а это как раз то, что стоит в левой части.
Г) При тождество будет иметь вид [2]:

(2)
В частности, при s=1 левая часть (2) представит сумму делителей числа n. Упрощая правую часть, получим:
.
Пример 2.

При s=0 левая часть (1) представит число делителей τ(n) числа n, и мы получим:
.
Пример 3.

1.1.2 Функция Эйлера
Теорема 1. Функция Эйлера – мультипликативная, то есть для любых взаимно простых натуральных чисел m и n справедливо [1]:
.
Доказательство. Функция Эйлера определена для всех натуральных чисел и . Остается доказать, что если и — взаимно простые натуральные числа, то выполняется условие:

Выпишем числа от 1 до :
Таблица 1 [1]
1 2 3 …

…

…
… … … … …

…
Число а взаимно простое с произведением , тогда и только тогда , когда:
.
Найдем сначала числа, которые взаимно просты с . В первой строке таких чисел есть . Числа, которые размещены в первом столбце относятся к одному и тому же классу по модулю m.
Поэтому если число b взаимно простое с m, то и любое из столбика с верхним элементом b также взаимно простое с модулем. Тогда в каждой строке имеется чисел, взаимно простых с m.
Запишем столбики, взаимно простые с модулем m.
Таблица 2 [1]

…

…

…
… … … …

…

Среди чисел, которые останутся, выберем взаимно простые с n. Рассмотрим столбик:
Таблица 3 [1]

…

Числа 0, 1, 2, …, n-1 образуют систему. В этой системе есть излишков, взаимно простых с n, поэтому в каждом столбце есть чисел, взаимно простых с n, а значит и с числом . Тогда подтверждается:
.
Итак,