Курсовая теория на тему Дифференциальные уравнения в естествознании.

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект применения понятия дифференциального уравнения 6
1.1 Дифференциальные уравнения, основные понятия и определения 6
1.2 Сфера применения дифференциальных уравнений 9
Глава 2. Практический аспект применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественнонаучного цикла 11
2.1 Дифференциальные уравнения в биологии 11
2.2 Дифференциальные уравнения в экономике 14
2.3 Дифференциальные уравнения в архитектуре 16
2.4 Дифференциальные уравнения в физике 16
2.5 Дифференциальные уравнения в химии 19
2.6 Дифференциальные уравнения в медицине 21
Заключение 25
Список использованной литературы 26

Введение:

Актуальность темы. Изучая явления природы, решая разнообразные задачи из физики, техники, биологии, экономики довольно часто встречаются такие случаи, когда исследователю не удается найти закон, который связывает некоторые величины, но в то же время сравнительно легко позволяет установить зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами.
Например, очень часто в инженерной практике бывает необходимо найти закон движения тела под действием заданных действующих на тело сил. Найти закон движения напрямую было бы нелегко, а между тем основной закон динамики сразу дает нам возможность установить зависимость, которая содержит вторую производную от пути по времени , где m – масса, х – путь, который рассматривается как функция от времени, t – время, f – сила. Движение предполагается прямолинейным. Мы получили дифференциальное уравнение. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всех физических явлениях в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки измерений, происходящих в ней с течением времени. Напомним, что на основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных волн стал возможным рассмотрение уравнений Максвелла как математической модели реального физического явления.
Основная задача теории дифференциальных уравнений – изучение методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями.
Всякий прогресс в изучении интегралов дифференциальных уравнений сразу же позволяет продвинуть решения ряда прикладных задач. Классическим примером этого может быть случай движения твердого тела, найденный и до конца изученный С.В. Ковалевской. Она нашла этот случай, исходя из попытки, найти такие случаи движения твердого тела, когда интегралы соответствующих уравнений обладают некоторыми аналитическими свойствами.
Дифференциальные уравнения и методы их исследования широко используются в различных отраслях современной науки и техники. Поэтому теория дифференциальных уравнений занимает главное место в системе наук. Среди них науки: механика, физика, электроника, химия, материаловедение, биология, экономика, машиностроение.
В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронно-вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и станут фундаментом для дальнейших теоретических исследований. Отсюда происходит связь теории дифференциальных уравнений с вычислительной математикой.
Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, которые связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Что и определяет актуальность курсовой работы и ее тему: «Дифференциальные уравнения в естествознании».
Цель исследования: изучить основные приложения теории дифференциальных уравнений в науках естественнонаучного цикла.
Объект исследования: естествознание.
Предмет исследования: дифференциальные уравнения.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. Исследовать и изучить теоретические аспекты применения теории дифференциальных уравнений;
3. Привести примеры применения теории дифференциальных уравнений в науках естественнонаучного цикла.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 27 страниц.

Заключение:

Таким образом, дифференциальными уравнениями можно описать огромное количество процессов, с которыми мы встречаемся не только при изучении математики или физики, но и в повседневной жизни (медицина, биология, экология, химия, астрономия, архитектура и так дальше). Их роль в современном мире трудно переоценить, как и роль самой математики.
В ходе решения задач естествознания часто возникают соотношения, которые связывают производные некоторой функции (первую, вторую и т. д.), саму эту функцию и независимую переменную.
Практически во всех сферах деятельности человека возникают задачи, которые, так или иначе, сводятся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач и методику их решения можно описать примерно так. Изучается какой-нибудь процесс – физический, биологический и т. д. Нас интересует изменение во времени какой-то характеристики этого процесса, то есть некоторой величины (температуры, давления, массы и т. п.). Если у нас имеется достаточно много сведений о течении этого процесса, мы можем попытаться построить его математическую модель. Практически всегда мы можем экспериментальным путем получить информацию о скорости изменения величины у = у(t) в зависимости от времени t. Данную информацию всегда можно подать в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией у = у(t). В результате мы получаем уравнение, которое описывает процесс с точки зрения его характеристики у.
Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Этим как раз и занимается математическая теория дифференциальных уравнений.

Фрагмент текста работы:

1 Дифференциальные уравнения, основные понятия и определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производную искомой функции или ее дифференциалы [1].
Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение превращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.
Пример 1: уравнение в имеет решение .
;
;
.
Выясним теперь, сколько решений имеет дифференциальное уравнение. Например, предыдущее уравнение имеет еще решения, которые задаются формулой:
,
где – некоторые числа.
Следовательно, дифференциальное уравнение имеет множество решений.
Определение 2. Решение, содержащее постоянную С, называется общим решением дифференциального уравнения [1].
Определение 3. Решение, в котором подставлено числовое значение С, называется частичным решением дифференциального уравнения [1].
Геометрически частное решение представляется в виде интегральной кривой, а общий – семейства кривых.
При решении дифференциального уравнения сначала получаем общее решение. Затем, если известно исходные данные, получаем частичное решение.
Определение 4. Задача отыскания частичного решения дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши [1].
Определение 5. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной [1].
Например:
1) первый порядок:
.
2) второй порядок:
.
3) третий порядок:
.
И так дальше.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка такой [14]:
.
Определение 6. Простейшее дифференциальное уравнение есть уравнение вида , то есть [1].
Чтобы его решить нужно знать интеграл от функции f(х), то есть:
,
,
.
Определение 7. Уравнение вида , где — данные функции, называется уравнением с обособленными переменными, или [1].
Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.
Пример 2. Решить уравнение:
.
Решение:
,
,
,
,
.
3. Дифференциальное уравнение с отделяемыми переменными.
Определение 8. Уравнения вида , где — данные функции, называется уравнением с отделяемыми переменными [14].
Уравнение можно свести к виду , если разделить все его члены на произведение функций .
Пример 3. В качестве примеров можно навести такие уравнения [6]:
,
,
,
.
Пример 4. Решить уравнение [6]:
.
Решение. Поделим обе части данного уравнения на произведение функций .
Получим:
,
,
,
,
.
Таким образом, теория дифференциальных уравнений довольно развита. Используя простые и сложные алгоритмы, мы можем решить практически любую задачу. Поскольку разработан хороший математический аппарат в данной теории, она может выйти за рамки математики, используя понятие математической модели.
С помощью математической модели можно описать практически любой динамичный процесс по времени, скорости, стоимости и так дальше. Это позволяет охватить все науки естественнонаучного цикла.