Курсовая с практикой на тему Закон больших чисел. Полиномы Бернштейна

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. Описание динамических систем с
помощью дифференциальных уравнений  5

2. Применение полиномов Бернштейна
для решения нелинейных уравнений  10

3. Обобщенные полиномы Бернштейна в
задаче оценки параметров системы   14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 16

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ   17

Введение:

Теория динамических систем
широко востребована большим спектром наук — физикой, биологией, механикой,
экономикой и т.д. Она позволяет не только определить возможное направление
развития исследуемого объекта, но и разработать комплекс адаптивных воздействий
на систему для корректировки этого направления.

Исследованием динамических
систем занимались такие отечественные и зарубежные ученые, как Ляпунов,
Понтрякин, Четаев, Красовский, Аносов, Пуанкаре, Хайрер.

Одной из важных научных
проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения
изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о
его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона,
который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени
в точке пространства определить его будущее в любой момент времени.

На практике часты случаи,
когда нельзя ограничиться рассмотрением только линейных математических моделей.
Более того, ряд других особенностей природных процессов таких, как наличие
конечной памяти, не может быть оставлен без внимания для более адекватного
описания этих процессов. Новые перспективы в исследовании нелинейных систем
открылись в связи с появлением компьютерного моделирования, что фактически
позволяет ставить вычислительный эксперимент, дающий теоретическое решение в
случае, когда аналитические методы исследования невозможно применить.

В данной работе
рассматриваются нелинейные динамические системы, т.к. большинство практических
задач механики, термодинамики, аэродинамики и т.д. описываются именно ими. Если
система описывается алгебраическими уравнениями, то это описание состояния
равновесия (статические системы).

Устойчивость
характеризует одну из важнейших черт поведения систем

Заключение:

В работе построены
итерационные алгоритмы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений,
обеспечивающие высокую скорость сходимости и устойчивые к погрешностям в
исходных данных.

В ходе компьютерных
экспериментов было установлено, что итерационная формула на основе
аппроксимационного полинома Бернштейна, не зависит от изменения количества
узлов, степени полинома и точности задания функции в сравнении с классическими
итерационными методами (метод Ньютона, метод секущих).

Фрагмент текста работы:

. Описание динамических систем с помощью дифференциальных уравнений

Под динамической системой
понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие
состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан
закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением
времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее
состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Описания
динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью
дифференциальных уравнений, дискретных отображений и т.д. Выбор одного из
способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей
динамической системы.

Математическая модель
динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты)
системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В
зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены
в соответствие различные математические модели [5].

Исследование реальных
систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие
которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при
их сопоставлении.

Динамические системы можно
классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры
фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные
преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный
оператор обладает свойством суперпозиции. Если оператор нелинейный, то и
соответствующая динамическая система называется нелинейной.

Различают
непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и
дискретным временем. Системы, для которых отображение с помощью оператора может
быть определено для любых (непрерывно во времени), называют также потоками по
аналогии со