Курсовая с практикой на тему Задачи на построение, неразрешимые одной линейкой.

Содержание:

Введение 3

1. Геометрические построения одной линейкой основные понятия 6

2. Невозможность построения одной линейкой центра данной окружности 10

3. Лемма о трапеции и ее приложения к задачам на построение одной линейкой 15

4. Ответы на вопросы научного руководителя 21

Заключение 22

Список литературы 23

Введение:

 
Геометрические построения, решение геометрических задач при помощи инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые абсолютно точные. В исследованиях по геометрическим построениям выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Геометрические построения обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на геометрические построения на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении угла, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на геометрические построения с помощью циркуля и линейки. Геометрические построения на плоскости имеют богатую историю. Теория этих построений разработана датским геометром Г. Мором (1672) и затем итальянским инженером Л. Маскерони (1797). Значительный вклад в теорию геометрических построений был сделан швейцарским учёным Я. Штейнером (1833). Лишь в 19 в. был выяснен круг задач, разрешимых с помощью указанных инструментов. В частности, отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки.

Задачи на построение занимают очень важное место в школьном курсе геометрии. Геометрические построения, это не только увлекательный процесс поиска графического решения, но практическое применение навыков анализа, доказательства, исследования в окружающем мире, а, так же, при изучении других предметов.

С простейшими задачами на построение учащиеся знакомятся в 7 классе. Задача на построение решается в четыре этапа: анализ, построение, доказательство, исследование.

В первом этапе задача тщательно анализируется, продумывается план решения на основании имеющихся данных. Второй этап–это непосредственно построение, где на основе анализа производится

Заключение:

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру. Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку).

В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии — построить фигуру — характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии). Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют логическую основу конструктивной геометрии.

В своей курсовой работе рассмотрели геометрические построения на плоскости, выполняемые с помощью одной линейки, применила полученные знания при решении практических задач.

Фрагмент текста работы:

1. Геометрические построения одной линейкой: основные понятия

Процесс построения предполагает последовательное выполнение определенных действий, в результате которых из имеющихся на плоскости геометрических фигур получаются новые фигуры. Эти действия, как правило, точно не оговариваются. Иногда это приводит к недоразумениям. Во избежание недоразумений, с одной стороны, и поскольку далее мы намерены изложить доказательства невозможности тех или иных построений, необходимо иметь достаточно точную формулировку понятия построения.

Пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь исключительно линейкой, разделить отрезок пополам или провести параллель к данной прямой. Однако эти и многие другие задачи могут оказаться разрешимыми исключительно линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная фигура.

Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.

Линейка позволяет провести прямую на плоскости через две данные или ранее построенные точки. Эти действия мы назовем здесь элементарными построениями. Никакие другие действия при построениях не допускаются. Приведем список элементарных построений.

Определение 1. Пусть на евклидовой плоскости E2 имеется конечное число фигур. Следующие действия над ними назовем элементарными построениями.

1. Построение пересечения двух имеющихся фигур.

2. Выбор конечного числа произвольных точек, как принадлежащих, так и не принадлежащих имеющимся фигурам/