Курсовая с практикой на тему Задачи на экстремум в школьном курсе геометрии

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 4
1.1 Понятие экстремума и задачи на экстремум 4
1.2 Методы решения задач на экстремум 6
1.3 Примеры геометрических экстремумов, которые могут рассматриваться в школьном курсе геометрии 8
Глава 2.ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 12
2.1 Задачи на экстремум в планиметрии 12
2.2 Задачи на экстремум в стереометрии 23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 26

Введение:

Актуальность темы. Задачи на экстремум широко используются не только в школьной алгебре, но и в геометрии. Много задач геометрического содержания являются типичными задачами на экстремум. В этих задачах при выполнении определенных условий надо найти наибольшее или наименьшее значение некоторой геометрической величины (периметра, площади, объема). Каждой из этих величин можно поставить в соответствие некую формулу (иногда не одну), которая выражает искомую величину как функцию других величин. Однако сама функция в готовом виде не дается. Ее надо определить из условий задачи.
Часто по условиям задачи можно построить функцию не одной переменной, а двух. Тогда, применив известные геометрические теоремы, одну из этих переменных исключают. Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Задачи на экстремум в школьном курсе геометрии».
Цель работы заключается в рассмотрении особенностей задач на экстремумы, которые используется в школьном курсе геометрии при решении геометрических задач.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Исследовать и проанализировать научную и методическую литературу по данной проблематике;
2. Раскрыть сущность общего понятия «экстремум» и экстремума в геометрии;
3. Подобрать примеры для иллюстрации понятий, используемых в работе, и сделать соответствующие выводы.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 27 страниц.

Заключение:

На основе проведенного исследования, хотелось бы отметить необходимость дальнейшего изучения теории экстремумов исходя из важности области применения понятия «экстремум» в геометрии.
Те задачи, в которых необходимо определять необходимые условия, которые дают возможность найти наибольшее и наименьшее значение некоторой величины. Их обычно называют задачами «на экстремум» или задачами «на максимум и минимум». Такие задачи имеют широкую область применения в геометрии, что очень важно для изучения предмета, а это собой влечет пристальное внимание учителей школе.
Экстремум постоянно возникает во многих расчетах в области инженерии, в экономических и финансовых сферах деятельности. Люди, далекие от математики, часто даже не подозревают о том, что в повседневной жизни им приходиться сталкиваться с таким понятием, как экстремум в его различии и многообразии.
Геометрический метод решения задач на поиск экстремума хорош тем, что не предполагает применения математического анализа и считается элементарным. В некоторых сферах деятельности человека такой метод будет более подходящим инструментом решения с научной точки зрения задачи на геометрический максимум или минимум.
Данной курсовой работой мы постарались максимально четко раскрыть цели и задачи задач на максимум и минимум в школьном курсе геометрии. В процессе ее написания была изучена научная и методическая литература, источники энциклопедических словарей, понятия и методы решения задач на поиск экстремума.
 

Фрагмент текста работы:

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

1.1 Понятие экстремума и задачи на экстремум

Сначала, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как геометрия, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы [7].
Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают ее наибольшее и наименьшее значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках заданных функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет свое направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна равняться нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:
— найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
— найти корни уравнения.
Последовательность нахождения экстремума [2]:
-. Поиск производной первого порядка f’(x) заданной функции. То выражение, которое получится, нужно приравнять к нулю.
— Нужно решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками обусловленной функции.
— Определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f»(x).
Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и потом посчитать, что получится. Если случится так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет точка минимума, а в другом случае – это будет точка максимума.
Остается посчитать значение начальной функции в требуемых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии [3].
Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Если необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы произведенного исследования.
Экстремальные задачи – задачи на максимум и минимум – во все времена привлекали внимание ученых. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики [6].