Курсовая с практикой на тему Вывод признаков делимости с использованием теории сравнений.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫВОДА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ.. 5

1.1. Основные определения и теоремы теории сравнений. 5

1.2. Понятие и основные признаки делимости. 6

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЫВОДА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ.. 10

2.1. Представление признаков делимости с использованием
теории сравнений. 10

2.2. Методика решения задач на вывод признака делимости с
использованием теории сравнений  13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 18

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ
ИСТОЧНИКОВ   19

Введение:

Актуальность
исследования. Теория чисел является одной
из древнейших теорий в математике. Исследования в арифметике стали базой для формирования
ряда математических разделов и, между тем, теория чисел применяет
аналитические, алгебраические, геометрические и многие иные методики для
решения теоретико-числовых проблем.

Теория чисел является наукой о целых числах. Целые
числа и операции над ними известны еще с древних времен и являются одними из
первых математических абстракций. Теория сравнений в кольце целых чисел является
одним из разделов теории чисел

Теория сравнений является одним из основных разделов
теории чисел, ее содержание базируется на основных понятиях делимости целых
чисел (делимое, делитель, частное и остаток), теории колец (идеал кольца,
фактор-кольцо, обратимый элемент кольца) и многочленов (степень, корень
многочлена, деление многочленов с остатком, теорема Безу и схема Горнера).

Методы теории сравнений широко применяются в различных
областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в
вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень
часто изучается недостаточно глубоко.

Делимость является фундаментальным понятием в алгебре,
арифметике и теории чисел, связанным с операцией деления. Вопросы делимости
чисел исследовали еще древнегреческие математики и ученые. В теории чисел ими была
сделана большая работа по типологии натуральных чисел. Они делили множество
натуральных чисел на классы, определяя классы совершенных чисел, дружественных
чисел, фигурных чисел, простых чисел и др.

Степень
разработанности темы исследования.
Проблемы делимости чисел на уроках математики исследовали многие математики и педагоги:
Ж. Адамар, В. Г. Болтянский, И.М. Виноградов, В. А. Далингер, Д. Пойа, Г. И.
Саранцев, К. П. Сикорский, А. А. Столяр, П. Л. Чебышев и др.

В содержании книги Евклида «Начала» включены
доказательства бесконечности множества простых чисел. Ученый Эратосфен из
Древней Греции отыскал метод составления таблиц простых чисел, которые позднее
назвали «решето Эратосфена».

Вклад в исследование признаков делимости чисел привнес
Блез Паскаль. Он отыскал алгоритм для определения признаков делимости всякого
целого числа на любое иное целое число, из которого следуют все частные
признаки.

Главным образом, элементы теории чисел в школьном
курсе математики представляются в разделах «Делимость натуральных чисел»,
«Делимость чисел».Тема «Делимость чисел» включена в программу по математике для
5- 6 классов и почти не рассматривается в 7-11 классах. Однако, в
контрольно-измерительных материалах государственной итоговой аттестации задачи
по элементам теории чисел присутствуют, что делает необходимым включение данного
рода задач в содержание школьного курса алгебры 7-9 классов и старшей школы.
Это и обуславливает актуальность темы исследования.

Объект
исследования – признаки делимости с использованием
теории сравнений.

Предмет
исследования – вывод признаков
делимости с использованием теории сравнений.

Цель исследования – теоретически обосновать и практически подтвердить
вывод признаков делимости с использованием теории сравнений.

Задачи исследования:

1. Изучить основные определения и теоремы теории
сравнений.

2. Рассмотреть понятие и основные признаки делимости.

3. Изучить представление признаков делимости с
использованием теории сравнений.

4. Представить методику решения задач на вывод признака
делимости с использованием теории сравнений.

Методы
исследования:

– изучение литературы и других источников информации;

– анализ текста;

– синтез;

– классификация;

– сравнение;

– обобщение информации.

Научная значимость
исследования заключается в том, что в
определении основных определений и теорем теории сравнений, определении
основных признаков делимости чисел на основе теории сравнений.

Практическая
значимость исследования заключается в
том, что материалы работы по решению практических задач можно использовать в
урочной деятельности и при подготовке учащихся к сдаче экзаменов.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения,
списка литературы.

Заключение:

Итак, в процессе выполнения работы были получены
следующие результаты:

1. Изучены основные определения и теоремы теории
сравнений. Теория сравнения – это один из главных разделов теории чисел, ее
содержание основывается на ключевых понятиях делимости целых чисел (делимого,
делителя, частного и остатка), теории колец (идеала кольца, фактора-кольцо,
обратимого элемента кольца) и многочленов (степени, корня многочлена, деления
многочленов с остатком, теоремы Безу и схемы Горнера).

2. Рассмотрено понятие и основные признаки делимости.
Работая с различными источниками, анализируя материал, найденный по исследуемой
теме, можно убедиться, что существуют признаки делимости различных натуральных
чисел. К примеру, 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что подтвердило правильность
существования других признаков делимости натуральных чисел. Существует
универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик
Паскаль Бустер и опубликовал его в своем трактате «О природе делимости чисел».
С помощью этого алгоритма можно получить знак делимости на любом натуральном
числе.

3. Представили признаки делимости с использованием
теории сравнений. Теоретический материал проиллюстрирован примерами.

4. Представили методику решения задач на вывод
признака делимости с использованием теории сравнений. Решение заданий на
делимость, прежде всего, связано с умением моделировать реальные ситуации на
языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры. Привели
примеры решения задач на вывод признаков делимости с использованием теории
сравнений. Рассмотрена и представлена методика решения таких задач на вывод
признака делимости с использованием теории сравнений.

Таким образом, цель, поставленная в работе,
достигнута, задачи решены.

Фрагмент текста работы:

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫВОДА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ

1.1. Основные определения и теоремы теории сравнений

Определение 1. Допустим, что число m является натуральным числом,
большим единицы. Целые числа a и b – это сравнимые числа по модулю m, если в
процессе деления на m они будут давать одинаковые остатки [10]. Введем обозначение: К примеру, следующие сравнения являются истинными: К примеру, следующие сравнения являются ложными: Теорема 1.  тогда и только тогда, когда  будут давать в процессе деления на m равные остатки [4].

Критерий сравнения. Допустим, что a и b являются целыми
числами, m – модуль. Следующие условия будут эквивалентными:

1) 2) разность чисел a и b делится на m.

3) есть число t такое, что Теорема 2. Отношение сравнения в соответствии с модулем m будет
являться отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Представим основные свойства сравнений:

1. Сравнения в соответствии с общим модулем можно
почленно суммировать и вычесть: 2. Слагаемое, которое стоит в определенной части
сравнения, можно перенести в другую часть, поменяв его знак на противоположный
[3].

3. К двум частям сравнения можно добавить (вычесть)
одно и тоже число, кратное модулю.

4. Сравнения в соответствии с общим модулем можно
почленно перемножить: 5. Две части сравнения можно перемножить на любое
число: 6. Две части сравнения можно поделить на одно и тоже
число, взаимно простое с modm.

7. Две части сравнения можно возвести в одну и ту же
степень.

8. Две части сравнения и его модуль можно перемножить
на одно и то же целое положительное число или поделить на их общий делитель.

9. Если сравнение a ≡ b имеет место по нескольким
разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному минимальному общему
кратному этих модулей.

10. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно
имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m [2].

Таким образом, теория сравнения – это один из главных
разделов теории чисел, ее содержание основывается на ключевых понятиях
делимости целых чисел (делимого, делителя, частного и остатка), теории колец
(идеала кольца, фактора-кольцо, обратимого элемента кольца) и многочленов
(степени, корня многочлена, деления многочленов с остатком, теоремы Безу и
схемы Горнера).