Курсовая с практикой на тему Вихрь векторного поля его геометрический смысл. Формула Стокса

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ. 3

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ: ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, ВИХРЬ
ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.. 4

2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВИХРЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ   8

3 ФОРМУЛА СТОКСА. ПРИМЕРЫ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ. 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ. 27

Введение:

Векторным анализом называется раздел
векторного исчисления, где объектом изучения являются векторные и скалярные
функции произвольного числа аргументов, которые носят названия векторных и
скалярных полей соответственно.

Для характеристики того или поля вводится
целый ряд понятий. Одним из ключевых понятий векторного поля является его вихрь
(ротор), который характеризует степень и направление вращения векторного поля. Данный
показатель имеет широкое применение в разных технических науках[4, c. 51].

Целью данной курсовой работы является приведение
теоретических основ вихря векторного поля и получение навыков использования
формулы Стокса при решении задач.

К задачам курсовой работы относятся:

— определение основных понятия векторного
поля: собственно векторного поля и его вихря;

— определение геометрического и
физического смысла вихря векторного поля;

— приведение теоремы (формула Стокса) с
доказательством;

— приведение примеров использования
теоремы Стокса при решении задач.

Курсовая работа состоит из трех разделов.

В первом разделе рассматриваются основные
понятия теории поля – векторного поле и вихрь векторного поля. Во втором
разделе дается физическая и геометрическая интерпретация вихря векторного поля.

Третий раздел посвящен доказательству
теоремы о формуле Стокса, а также получению практических навыков применения
формулы Стокса при решении задач.

Заключение:

В данной курсовой работе рассматривались
такие понятия теории поля, как векторное поле и вихрь векторного поля.

Говорят, что в области G задано
векторное поле, если  с каждой точкой P(x,y,z) некоторой пространственной области G связана векторная функция вида .

Ротор векторного поля (вектора)  есть вектор, обозначаемый и равный: Геометрический смысл вихря векторного поля состоит в том, что
данный вектор всегда направлен параллельно (коллинеарен) оси вращения.

И в случае векторных полей сложной формы он позволяет определить
направление оси вращения, даже без ее непосредственного определения.

Ротор, в данном случае, является характеристикой вращательной
способности некоторого векторного поля .

В работе приведены теорема Стокса, ее доказательство и
следствие.

Для демонстрации применения формулы Стокса в курсовой работе
приведено решение некоторого количества примеров.

Обобщая сказанное выше, можно отметить, что рассматриваемые в
данной работе понятия имеют достаточно большое практическое приложение и умение
пользоваться математическими зависимостями, к которым можно отнести формулу
Стокса, является необходимой компетенцией современного специалиста.

Фрагмент текста работы:

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ПОЛЯ: ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Возникновение
векторного исчисления связано с потребностями механики и физики.
В начале 19 века происходит новое значительное расширение области
приложений математического анализа.

Если
до этого времени основными разделами физики, требовавшими большого
математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь
к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма
и термодинамика.

Получают
широкое развитие важнейшие разделы механики и непрерывных сред,
из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была
создана ещё в 18 веке Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д’Аламбером
и Ж. Лагранжем. Быстро растут математические запросы техники
и баллистики.

В начале
19 века в качестве основного аппарата новых областей механики
и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных
уравнений с частными производными и особенно теория потенциала.
В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала
и середины 19 века — К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П.
Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский.

Последний
заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных,
нашел знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные
и её n — мерное обобщение. Он также усовершенствовал теорию
замены переменных в кратных интегралах, получив по существу
те результаты, которые были для общего n — мерного случая позднее
компактно сформулированы К. Якоби.

В результате
исследования по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса
и других возникает векторный анализ, одной из основных формул
которого является формула Остроградского[9, c. 15].

Векторный
анализ — это раздел векторного исчисления, в котором изучается
средствами математического анализа векторные и скалярные функции одного
или нескольких аргументов (векторные поля и скалярные поля). Для
характеристики данных полей вводится целый ряд понятий, часть которых приведены
в данной работе: линии уровня и векторные линии, векторные трубки,
градиент скалярного поля, циркуляция, дивергенция и вихрь векторного поля.

Приложение векторного анализа широко используется
в прикладной физике: уравнение непрерывности и уравнение движения
идеальной жидкости (гидродинамика), уравнение распространения звука (теория
волн), уравнение теплопроводности (термодинамика), уравнения Максвелла или
телеграфное уравнение (электродинамика).

Перейдем к основным понятиям теория
поля  — понятию векторного поля и его
вихря.

Определение 1[8, c. 17].

Пусть с каждой точкой P(x,y,z) некоторой пространственной области G связана векторная функция вида .

В
этом случае говорят, что в области G задано векторное поле. Векторное поле
может быть определено с помощью трех скалярных характеристик, которые являются
координатами вектора : или

Здесь  есть проекции векторного поля на
соответствующие оси координат или компоненты вектор-функции.