Курсовая с практикой на тему Тройной интеграл и его вычисление

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект понятия тройного интеграла и его свойств 5
1.1 Определение тройного интеграла 5
1.2 Свойства тройного интеграла 8
Глава 2. Практический аспект применения понятия тройного интеграла: вычисление и приложения 10
2.1 Вычисление тройного интеграла в декартовых, сферических, цилиндрических координатах 10
2.1.1 Случай прямоугольной области в декартовых координатах 10
2.1.2 Случай криволинейной области в декартовых координатах 12
2.1.3 Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле 15
2.2 Геометрические и физические приложения тройного интеграла 19
2.2.1 Геометрические приложения тройного интеграла 19
2.2.1 Механические применения тройного интеграла 20
Заключение 23
Список использованной литературы 24

Введение:

Актуальность темы. Интеграл – это важное понятие математики, которое возникло на основе потребности вычислений:
— функции по ее производной (нахождение функции, выражающей путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки);
— площади, объемы, длины дуг, работы сил за определенный промежуток времени и т. п.
Символ интеграла ввел Лейбниц (1675 г.). Он являет собой изменение латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Непосредственно слово «интеграл» придумал Я. Бернулли (1690 г.).
Строгая теория интеграла появилось сравнительно недавно (в прошлом веке). Она связанная с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 — 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 — 1917).
Теория тройного интеграла связанная с трудами К. Жордана (1838 — 1922 гг.) по теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 — 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 — 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 — 1959 гг.)
Данная работа посвящена теории и практике применения тройных интегралов, вычисления тройных интегралов в различных системах координат, связь между ними и примеры решения часто встречающихся задач в геометрии и физике. Что и определяет актуальность курсовой работы и ее тему: «Тройной интеграл и его вычисление».
Цель исследования: изучить основные положения теории тройного интеграла в математике, а также его приложения в геометрии и физике.
Объект исследования: тройной интеграл.
Предмет исследования: свойства, способы вычисления, приложения тройного интеграла.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике.
2. Исследовать и изучить теоретические аспекты теории тройного интеграла и его свойств.
3. Привести примеры применения теории тройного интеграла в геометрии и физике, а также показать особенности его вычисления в декартовых, сферических и цилиндрических координатах.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 25 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на трехмерное пространство. Теория тройного интеграла аналогичная теории двойного интеграла
Решить тройной интеграл – означает найти такое число, которое бы было равным по объему тела V.
2. Тройной интеграл является обобщением двойного интеграла в случае пространственной области. Свойства двойного интеграла вместе с доказательствами переносятся на случай тройного интеграла.
3. В случае декартовых координат тройной интеграл достаточно просто, воспользовавшись формулой: , переход к полярным координатам является более сложным, поскольку необходимо произвести замену переменных и прийти к новым системам:
— в цилиндрической системе: , , ;
— в сферической системе: , , .
4. При решении инженерных задач самым распространенным является использование цилиндрических и сферических криволинейных координат. Рассмотрим их.
5. На основе полученных результатов можно говорить о том, что поставленные вначале цели и задачи достигнуты.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретический аспект понятия тройного интеграла и его свойств

1.1 Определение тройного интеграла

Пусть функция непрерывна в закрытой ограниченной области . Разобьем область сеткой поверхностей на элементарные части , которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны , . В каждой части выберем произвольную точку и составим сумму:
, (1)
которую называют интегральной суммой Римана для функции по области [6].
Пускай – диаметр разбития (самый большой из диаметров частичных областей , ). Под диаметром частичной области понимается длина самой большой хорды, которая соединяет две точки границы области.
Определение 1. Если существует предел при интегральных сумм (1), который не зависит ни от способа разбиения области на элементарные части , ни от выбора точек , то ее называют тройным интегралом от функции по области и обозначают выражением