Курсовая с практикой на тему Теоремы Ферма и Эйлера

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ТЕОРЕМ ФЕРМА И ЭЙЛЕРА 5
1.1 Конгруэнции и их свойства 5
1.2 Теоремы Ферма и Эйлера 8
2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ЭЙЛЕРА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 12
2.1 Задания на применение понятия функции Эйлера 12
2.2 Задания на применение теоремы Эйлера 13
2.3 Задания на применение теоремы Ферма 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 25

Введение:

Актуальность темы. Важное место в курсе теории чисел занимают конгруэнции и, в частности, применение конгруэнций. Этим вопросом занимались такие выдающиеся ученые как Эйлер, Ферма.
Пьер Ферма (1601-1665) был известным юристом и советником судебного парламента в Тулузе. Но его работа не мешала интенсивно и с большим успехом заниматься разнообразными математическими вопросами.
П. Ферма – это один из создателей дифференциального исчисления и теории вероятности, но наибольший вклад ученого был сделан в теории чисел. Почти все теоретико-числовые результаты П. Ферма записывались им на полях экземпляра произведения Диофанта «Арифметика».
Теорема Ферма, которая рассмотренная в данной работе, была высказана в одном из писем, направленным в 1640 Г. Френиклу. В нем Ферма написал, что получил доказательство теоремы: если а – такое число, что , то ; однако именно доказательство не было опубликовано в научной литературе самим ученым.
Первое из известных доводов теоремы Ферма принадлежит Лейбницу (1646-1716). Доведение Лейбница было основано на рассмотрении сравнения:
.
Позднее Эйлер нашел еще несколько различных доказательств теоремы Ферма. Первое ранее доказательство ученый сделал в 1736 г. Дальше уже в 1760 году Эйлер обобщил теорему.
Не смотря на исследование одного и того же математического факта, терминология и обозначения в Ферма и Эйлера абсолютно отличные от современных доказательств. Все это и определило актуальность и тему курсовой работы: «Теоремы Ферма и Эйлера».
Цель исследования: изучить теоретический и практический аспект применения теорем Ферма и Эйлера.
Объект исследования: теория чисел.
Предмет исследования: теоремы Ферма и Эйлера.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. Изучить теоретические аспекты теорем Ферма и Эйлера, а также их доказательства;
3. Привести практические примеры применения теорем Ферма и Эйлера.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем составляет 26 страниц.

Текст работы:

Таким образом, теоремы Эйлера и Ферма играют большую роль в разных областях математики, особенно, в теории чисел, так как позволяет найти остаток от деления больших чисел, целые числа, которые делятся на некоторое число, наличие окончания числа на некоторую комбинацию цифр и так далее.
Также на основе исследования можно сделать другие соответствующие выводы:
1. Два целых числа а и b называют (конгруэнтными) сравнимыми по модулю m, если m делит a – b.
2. Основные свойства конгруэнций (сравнений):
— Для конгруэнции исполняются законы: рефлективности, симметричности и транзитивности, то есть в соответствии:
a) ;
б) из конгруэнции следует, что ;
в) если и , то .
— Конгруэнции по одному и тому же модулю можно почленно добавлять (или отнимать).
— Конгруэнции по одному и тому же модулю можно почленно перемножать, то есть , , то тогда получается .
— Обе части конгруэнции можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.
— Обе части конгруэнции и модуль можно умножить на одно и то же натуральное число.
— Обе части конгруэнции и модуль можно разделить на любой их общий делитель.
— Если конгруэнция имеет место с несколькими модулями, то она будет иметь место и по модулю, который равен их наименьшему общему кратному числу.
— Если конгруэнция имеет место по модулю m, то она будет иметь место и по любым делителем d этого модуля.
— Если одна часть конгруэнции и модуль делятся на какое-нибудь целое число, то и вторая часть конгруэнции делится на это число.
— Числа a и b, конгруэнтные между собой по модулю m, имеют с ним один и тот же наибольший общий делитель.
3. П. Ферма доказал данное конгруэнтное соотношение для простого модуля, а уже Л. Эйлеру получилось доказать для любого модуля и удалось указать значения , при которых имеет место равенство:
.
Соответствующие теоремы, которые будем называть теоремами Ферма – Эйлера, являются основой всей теории сравнений, а также широко используются как в теоретических исследованиях, так и в арифметических приложениях.
4. Теоремы Ферма и Эйлера имеют широкое применение в теории конгруэнций (сравнений) для большого класса задач. Теорема Ферма есть частным случаем теоремы Эйлера при .
5. По результатам исследования можно сказать, что все поставленные задачи и цель были достигнуты на нужном для данной работы уровне. Были сделаны соответствующие выводы.

Заключение:

Актуальность темы. Важное место в курсе теории чисел занимают конгруэнции и, в частности, применение конгруэнций. Этим вопросом занимались такие выдающиеся ученые как Эйлер, Ферма.
Пьер Ферма (1601-1665) был известным юристом и советником судебного парламента в Тулузе. Но его работа не мешала интенсивно и с большим успехом заниматься разнообразными математическими вопросами.
П. Ферма – это один из создателей дифференциального исчисления и теории вероятности, но наибольший вклад ученого был сделан в теории чисел. Почти все теоретико-числовые результаты П. Ферма записывались им на полях экземпляра произведения Диофанта «Арифметика».
Теорема Ферма, которая рассмотренная в данной работе, была высказана в одном из писем, направленным в 1640 Г. Френиклу. В нем Ферма написал, что получил доказательство теоремы: если а – такое число, что , то ; однако именно доказательство не было опубликовано в научной литературе самим ученым.
Первое из известных доводов теоремы Ферма принадлежит Лейбницу (1646-1716). Доведение Лейбница было основано на рассмотрении сравнения:
.
Позднее Эйлер нашел еще несколько различных доказательств теоремы Ферма. Первое ранее доказательство ученый сделал в 1736 г. Дальше уже в 1760 году Эйлер обобщил теорему.
Не смотря на исследование одного и того же математического факта, терминология и обозначения в Ферма и Эйлера абсолютно отличные от современных доказательств. Все это и определило актуальность и тему курсовой работы: «Теоремы Ферма и Эйлера».
Цель исследования: изучить теоретический и практический аспект применения теорем Ферма и Эйлера.
Объект исследования: теория чисел.
Предмет исследования: теоремы Ферма и Эйлера.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. Изучить теоретические аспекты теорем Ферма и Эйлера, а также их доказательства;
3. Привести практические примеры применения теорем Ферма и Эйлера.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем составляет 26 страниц.

Список литературы:

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ТЕОРЕМ ФЕРМА И ЭЙЛЕРА

1.1 Конгруэнции и их свойства

Предположим, что m – это натуральное число. Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на это натуральное число m, которое называют модулем. Согласно теореме о делении с остатком, каждому числу а будет соответствовать определенный остаток от деления а на m:
, [2].
Определение 1. Если двум целым числам a и b соответствует один и тот же остаток r от деления их на m, то они называются конгруэнтными (или сопоставимыми) по модулю m. Это обозначается символом [2]:
(1)
Данное выражение читается: а конгруэнтное с b по модулю m.
Некоторые авторы обозначают выражение (1) обозначают немного короче [2]:
(1′)
Соотношение (1) [или (1′)] между числами называют конгруэнцией, или сравнением.
Еще в некоторых учебниках [3, 5, 7] можно найти такое определение, например, как определение 2.
Определение 2. Два целых числа а и b называют сравнимыми по модулю m, если m делит a – b.
Пример 1. ; ; [6].
Теорема 1. Конгруэнтность чисел a и b по модулю m равнозначна [2]:
а) возможности подать а в форме , где – целое;
б) делимости на m.
Перечислим основные свойства, которые характерные конгруэнциям (сравнениям) [4]:
1. Для конгруэнции исполняются законы: рефлективности, симметричности и транзитивности, то есть в соответствии:
a) ;
б) из конгруэнции следует, что ;
в) если и , то .
2. Конгруэнции по одному и тому же модулю можно почленно добавлять (или отнимать).
Доказательство [13]. По условию, и . Следовательно, имеем, что справедливы выражения: , и .
Вывод 1. Слагаемое, которое стоит в какой-либо части конгруэнции, можно переносить в другую часть конгруэнции, изменив знак на противоположный.
Вывод 2. Можно добавить к обеим частям или отнять от обеих частей конгруэнции одно и то же число.
Вывод 3. К каждой части конгруэнции можно добавить (или отнять от нее) любое число, кратное модулю.
3. Конгруэнции по одному и тому же модулю можно почленно перемножать, то есть , , то тогда получается .
Доказательство [13]. По условию, и . Следовательно, , то есть .
Вывод 4. Обе части конгруэнции можно умножить на одно и то же целое число.
Вывод 5. Обе части конгруэнции можно возносить до одной и той же целой неотъемлемой степени, то есть если , то , где n – целое .
4. Обе части конгруэнции можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.
5. Обе части конгруэнции и модуль можно умножить на одно и то же натуральное число.
6. Обе части конгруэнции и модуль можно разделить на любой их общий делитель.
Доказательство [13]. Если , то делится на . Следовательно, делится на m, то есть .
7. Если конгруэнция имеет место с несколькими модулями, то она будет иметь место и по модулю, который равен их наименьшему общему кратному числу.
8. Если конгруэнция имеет место по модулю m, то она будет иметь место и по любым делителем d этого модуля.
Доказательство [13]. Если , то делится на m. Так как на — делитель m, то делится на , то есть .
9. Если одна часть конгруэнции и модуль делятся на какое-нибудь целое число, то и вторая часть конгруэнции делится на это число.
10. Числа a и b, конгруэнтные между собой по модулю m, имеют с ним один и тот же наибольший общий делитель.
Возьмем некоторое натуральное число a, взаимно простое с модулем m, рассмотрим последовательные степени a: . Все числа этой бесконечной множества распределены в m классах, следовательно, по крайней мере, один из этих классов должен содержать бесконечное множество степеней a. Взяв из этого класса две степени a и обозначив их и , где , получим . Поскольку из следует , то .
Таким образом, для некоторого имеем , причем, если , то получается . Тогда и при любом натуральном n получим , что доказывает существование бесконечного множества степеней числа а.
П. Ферма доказал данное конгруэнтное соотношение для простого модуля, а уже Л. Эйлеру получилось доказать для любого модуля и удалось указать значения , при которых имеет место равенство [11, 9]:
.
Соответствующие теоремы, которые будем называть теоремами Ферма – Эйлера, являются основой всей теории сравнений, а также широко используются как в теоретических исследованиях, так и в арифметических приложениях.

1.2 Теоремы Ферма и Эйлера

Предположим, что m – это натуральное число, которое больше 1. Тогда количество натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с m, обозначим . Функция носит название функция Эйлера.
Теорема 2. Функция Эйлера мультипликативная, то есть имеет место следующее равенство [2]:
, (2)
где числа m, n – взаимно простые.
Доказательство. Пусть a пробегает все числа меньше m и взаимно простые с ним. Соответственно b пробегает все числа меньше n, которые также взаимно простые с ним.
Необходимо показать, что среди чисел вида нет сравнимых по модулю . Воспользуемся методом доказательства от противоположного, то есть, предположим, что среди чисел вида существуют сравнимые. Учитывая наше предположение, имеем:
.
Дальше, используя свойства сравнений, можно переписать последнюю конгруэнцию:
,
.
Получили противоречие.
Вторым этапом необходимо показать, что НОД( , ) = 1. Также само воспользуемся методом доказательства от противоположного, то есть пускай НОД( , )  1. Не нарушая общности, предположим, что:

и
.
Тогда , но НОД(m, n) = 1, что означает . А это противоречит условию .
Третьим шагом необходимо показать, что число пробегает все числа меньше и взаимно простые с ним.

Отсюда становится понятно, что существует ровно чисел меньших и взаимно простых с ним. А это означает:
.