Курсовая с практикой на тему Теорема о смешанных производных

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ. 3

1 ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕМ О СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.. 4

1.1 Частные производные высших порядков. 4

1.2 Формулировка теоремы о смешанных производных и ее
доказательство. 5

2 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.. 9

2.1 Примеры применения теоремы о смешанных производных. 9

2.2 Особые случаи неприменимости теоремы о смешанных
производных. 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 19

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ… 20

Введение:

Многие традиционные элементарные задачи
(доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений, и
другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла[12, c. 36].

При этом более сложные технические задания
могут быть решены только при помощи частных производных.

Особый класс среди частных производных
занимают смешанные производные, которые позволяют изучать влияние на объект
нескольких факторов.

Учитывая многообразие функций, научным
сообществом формулируются и доказываются теоремы, которые способны ответить на
вопрос: можно ли применять дифференцирование к определенным функциям или нет,
тем самым, сокращая временные затраты на решение какой-либо математической
задачи.

Одной из основных теорем в математическом
анализе является теорема о смешанных производных, о ней пойдем речь в данной
курсовой работе.

Целью курсовой работы является

К задачам курсовой работы относятся:

— привести формулировку теоремы о
смешанных производных для функций двух переменных и ее доказательство;

— определить перечень функций, на которых
может быть применена теорема о смешанных производных, привести примеры;

— определить перечень функций, на которых
теорема о смешанных производных не может быть применена, привести примеры;

— сформулировать выводы.

Заключение:

В данной курсовой работе:

— была приведена формулировка теоремы о
смешанных производных для функций двух переменных и ее доказательство.

— определен перечень функций, на которых
может быть применена теорема о смешанных производных, приведены примеры.

В частности, были рассмотрены элементарные
и сложные функции:

— многочлены выше 2 порядка;

— тригонометрические функции;

— обратные тригонометрические функции;

— логарифмы;

— рациональные дроби.

Можно отметить, что теорема о смешанных
производных справедлива для функций и частных производных первого порядка,
которые определены на всей плоскости или имеют устранимые разрывы;

— определен перечень функций, на которых
теорема о смешанных производных не может быть применена, приведены примеры.

Был сделан вывод, что теорема о смешанных
производных не выполняется для некоторого класса разрывных функций (функции,
имеющие неустранимый разрыв). При  этом,
согласно условию теоремы функции определены вместе со своими частными
производными первого порядка в некоторой окрестности точки, но при этом
наблюдается зависимость от результата дифференцирования и смешанные производные
второго порядка не равны между собой.

Таким образом, следует сделать вывод, что
цель курсовой работы достигнута, все задачи выполнены.

Фрагмент текста работы:

1 ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕМ О
СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1.1 Частные производные высших
порядков Рассмотрим произвольную функцию . Положим, что данная
функция является дифференцируемом по своим аргументам – х и y.

Тогда функции вида   и  носят название частных производных первого
порядка функции .

Предположим,
далее, что функции  и  также являются дифференцируемыми по аргументам
х и y,
тогда частные производные от частных производных первого порядка вида: носят название частных производных
второго порядка от функции [13, c. 452].

Производные  и  называются смешанными производными.

Если предположить, что вторые частные
производные функции  также являются дифференцируемыми по своим
аргументам, то процесс дифференцирования можно продолжить и получить, тем
самым, частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков. Определение 1.

Частной
производной n-го порядка называется частная
производная
(n-1) порядка.

Следует
отметить, что количество частных производных n-го порядка равно 2n.

Запись частной
производной порядка n имеет следующий вид[9, c. 151]: где  . Теорема 1.

Если частные производные первого порядка
функции  являются непрерывно дифференцируемыми, то
смешанные производные второго порядка равны между собой, то есть: В следующем пункте будет приведено доказательство
этой теоремы. 1.2 Формулировка теоремы
о смешанных производных и ее доказательство Прежде, чем приводить формулировку и
доказательство теоремы о смешанных производных для функций 2-го порядка,
определим понятие смешанной производной, а также необходимых утверждений
(теорем), которые будут использованы при доказательстве теоремы о смешанных
производных.