Курсовая с практикой на тему Сравнительный анализ фильтров восстановления данных на основе разности операторов 4-го и 6-го порядков

Содержание:

Введение 2

1 Фильтры, реализующие разностные и интегральные операторы 3

1.1 Разностный оператор 4-го порядка 3

1.2 Разностный оператор 6-го порядка 5

2 Выделение в сигналах шумов 10

3 Восстановление утраченных данных 11

4 Аппроксимация производных 16

5 Практическая часть 20

6 Численное интегрирование по формуле Симпсона 22

Заключение 24

Список литературы 24

Введение:

В последние десятилетия качественно развиваются методы системного анализа, что связано с увеличением скорости технического развития, уплотнением временных процессов, быстрым ростом накапливаемой информации и новыми возможностями вычислительной техники. К этим методам относятся методы анализа большого объема данных, методы добычи данных, методы аналитического моделирования, методы параллельной обработки данных, нейросетевые методы, методы прогнозирования и другие. Представленные методы позволяют быстро и качественно обрабатывать разнородные кластеры информации, аккумулировать и синтезировать данные, обобщать и классифицировать информацию. К последним из представленных методов относятся методы разности операторов, которые позволяют структурировать, восстанавливать и моделировать информацию на основе статистических данных, математических и алгоритмических методов.

Таким образом, в работе рассматривается восстановление пропущенных данных с помощью фильтров восстановления данных на основе разности операторов 4-го и 6-го порядков. В работе выполняется сравнение фильтров восстановления данных на основе разности операторов 4-го и 6-го порядков. Кратко описывается каждый метод и особенности его применения в рамках практической части.

Заключение:

В результате проделанной работы рассмотрены фильтры восстановления пропущенных данных и проведено сравнение фильтров восстановления данных на основе разности операторов 4-го и 6-го порядков. Кратко описывается каждый метод и особенности.

При восстановлении данных, разностные операторы имеют одну особенность: оператор n+1 порядка аннулирует полином степени n, т.е. свертка оператора n+1 порядка с полиномом n-ой степени дает нулевые значения:

A’∙Pn(k) = 0.

Эту особенность можно использовать для создания очень простых и достаточно надежных операторов восстановления в массивах пропущенных и утраченных значений или для замены аннулированных при обработке величин (например, явных выбросов).

Фрагмент текста работы:

Фильтры, реализующие разностные и интегральные операторы

Фильтры, реализующие разностные и интегральные операторы, используются при решении задач интерполяции и экстраполяции данных, передаваемых теми или иными сигналами.

1.1 Разностный оператор 4-го порядка

Существуют разные разностные операторы для вычисления числовых производных. Например, это центральная разностная формула, которая должна быть точнее 1-го порядка, т. е. ошибка уменьшается как O(h^2)

dy/dx=y(x+h)-y(x-h)2

dy/dx=y(x+h)-y(x-h)2

Предполагается, что эта формула будет точной если будет 4-го порядка, т. е. ошибка уменьшается как O(h^4)

dy/dx=y(x-2h)-8y(x-h)+8y(x+h)-y(x+2h)12

dy/dx=y(x-2h)-8y(x-h)+8y(x+h)-y(x+2h)12

Если приращение h недостаточно мало, 2-я формула будет более неточной, чем первая. Если это так, есть ли способ определить предел, ниже которого 2-я формула даст более точные значения производных по сравнению с 1-й формулой.

Формула будет иметь следующий вид:

Df (x,h)=f (x +h)-f (x-h)2h

тогда

Df(x,h)=f'(x)+f‴(x)6h2+O(h4)

Чтобы исключить квадратичный член, вы должны вычислить

4 D f (x,h) -f (x,2 h) = 3f'(x) + O (h4)4Df(x,h)-f(x,2h)=3f'(x)+O(h4)

что действительно приводит к

⟺f'(x) =-f(x + 2 h) + 8 f (x + h) -8 f (x-h) + f (x-2 h)12 h + O (h4)⟺f'(x)=-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)12h+O(h4)

Это также называется экстраполяцией Ричардсона (более известной в контексте интеграции Ромберга). Присвоение имени выражению D2 f (x, h)D2f(x,h)следующим шагом интерполяции будет

16D2f (x,h)-D2 f (x,2 h) = 15f'(x) + O (h6),16D2f(x,h)-D2f(x,2h)=15f'(x)+O(h6),

но можно также получить этот порядок ошибок, объединив центральные различия для h,2 h,3 hh,2h,3h.

Теперь к ошибкам: оценка функции всегда будет вносить некоторый шум относительной величины μμ, где μμ является машинной константой типа с плавающей запятой. Таким образом, ваша ошибка представляет собой комбинацию ошибки аппроксимации и этого шума, или около

M0μh+M3h2M0μh+M3h2