Курсовая с практикой на тему Собственный вектор линейного оператора.

Содержание:

Введение. 3

1.
Собственные числа и собственные вектора. Основные понятия. 4

2. Свойства
собственных векторов. 9

3. Алгоритм нахождения
собственных чисел и собственных векторов. 12

4. Практические расчеты.. 13

Заключение. 24

Список
использованных источников. 25

Введение:

Задачи поиска собственных
чисел и собственных векторов линейных операторов и матриц находят широкое
применение в современном мире. В частности, во многих разделах
экспериментальной и теоретической физики, когда приходится сталкиваться с
исследованием колебаний механических систем, электронных спектров и кристаллов,
в оптике, в математике при построении различных моделей с использованием
линейных преобразований, при решении дифференциальных уравнений и систем дифференциальных
уравнений, в теории устойчивости, в графическом дизайне, различных системах
автоматизированного проектирования и инженерных расчетов.

Совершенно принципиальное
значение эта проблема приобрела с появлением в 30-х годах прошлого века
квантовой механики, ставшей базовой дисциплиной исследования микро-, а затем и
нанообъектов. Хотя исторически задача находения собственных чисел и векторов
возникла при исследовании квадратичных форм и дифференциальных уравнений, а
впоследствии появившаяся теория стала неотъемлемой частью линейной алгебры.
Большой вклад в ее развитие внесли такие выдающиеся математики, как Эйлер,
Лагранж, Коши и Гильберт.

Целью данной курсовой работы
является изучение теоретических и практических основ решения задач, где
требуется находить собственные числа и вектора линейных операторов и соответствующих
им матриц. Поэтому работу можно логически разделить на две части: первая – в ней
изложены  определения и теоретические
выкладки по данной теме, вторая – в которой приводятся примеры решения
прикладных задач.

Заключение:

В ходе данной работы были
изучены вопросы, касающиеся задач нахожения собственных чисел и собственных
векторов линейных операторов, а именно:

— основные понятия и
определения на примере линейного оператора в векторном пространстве ;

— свойства собственных
чисел, собственных векторов, а также матриц, составленных из них;

— алгоритм нахождения
собственных чисел и векторов;

— различные частные
случаи, возникающие в процессе решения;

— подробные примеры задач
(поик собственных чисел и векторов для 
линейного оператора в двумерном и трехмерном векторном пространстве,
решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений методом
Эйлера, приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду путем
линейных преобразований координат).

Полученные навыки помогут
при решении подобных задач в дальнейшем.

Фрагмент текста работы:

1. Собственные числа и собственные вектора. Основные понятия Пусть имеется  – векторное
пространство, а A: – линейный оператор,
действующий в нём. Квадратная  матрица  (элементы которой   действительные числа)
– матрица оператора  A. Тогда число  называется собственным числом или собственным значением оператора  A, если существует ненулевой вектор , такой что (1) В таком случае  называется собственным вектором оператора A, соответствующим числу [1].

Далее для наглядности
рассмотрим операторы, действующие в трехмерном евклидовом векторном
пространстве , элементами которого являются векторы геометрического
пространства. Отметим, что все приведенные ниже выкладки и рассуждения будут
верны с небольшими изменениями и для операторов,  действующих в двумерном пространстве  (элементы которого –
векторы на плоскости).  Пусть  – ортонормированный
базис пространства . Матрицу оператора относительно этого базиса обозначим через
. Пусть – координаты вектора относительно заданного
базиса. Тогда равенство (1) можно записать в координатном (матричном) виде: [1]
Чечин Г.М., Зехцер М.Ю. Собственные значения и собственные векторы матриц .
Часть 1: Теоретические аспекты. Учеб. пособие. РГУ. – Ростов-на-Дону, 2006. С.
6.