Курсовая с практикой на тему Решение уравнений в целых числах методом оценки.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………….……………………3
1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК……………………………………5
2. ДИОФАНТОВЫЕ УРАВНЕНИНИЯ………………………………………7
2.1. Линейные диофантовые уравнения…………………………….…….7
2.2. Нелинейные уравнения………………………………………………..11
3. МЕТОД ОЦЕНКИ ВЫРАЖЕНИЙ, ВХОДЯЩИХ В УРАВНЕНИЕ…15 3.1. Сравнение левой и правой частей уравнения………………………15
3.2. Другие примеры применения метода оценки………………………18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ….…………………….21

Введение:

Теория решений уравнений в целых числах (диофантовых уравнений) является классическим разделом элементарной математики [1–4]. Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или, в более общем случае, рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовые уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их еще называют неопределенными уравнениями.
Задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, на олимпиадах по математике и являются задачами повышенной сложности [5–9]. При этом следует учитывать, что без знания основных принципов и теорем делимости чисел [10] невозможно решение задач по исследуемой проблеме.
В настоящее время не существует общего метода решения уравнений и систем в целых числах, и поэтому анализ различных методов и приемов, применяемых на практике для их решения, является актуальной задачей.
Можно выделить следующие методы решения диофантовых уравнений и систем: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод разложения на множители; метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби; метод, основанный на выделении полного квадрата; метод решения нелинейного уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение; метод, основанный на алгоритме Евклида; метод, основанный на теории цепных дробей; метод, основанный на теории сравнений; метод бесконечного спуска и др. [5, 6].
В настоящей работе подробно рассматривается один из методов решения уравнений в целых числах – метод оценки. Основная идея этого метода состоит в преобразовании исходного уравнения в уравнение с очевидной оценкой его составных частей. В большинстве случаев уравнение сводится к комбинации неотрицательных выражений, к которым непосредственно оказываются применимы, например, неравенства с модулями чисел или тригонометрические неравенства, а также применение классических неравенств, связанных с именами Бернулли, Юнга, Гельдера, Коши, Минковского и др.
Данная курсовая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованных источников. Основная часть включает в себя три раздела. В первом разделе дается краткий исторический очерк становления теории уравнений в целых числах.
Во втором разделе излагаются некоторые общие положения теории диофантовых уравнений. Рассматриваются линейные и некоторые типы нелинейных уравнений. Формулируется условие разрешимости линейных неоднородных уравнений с двумя переменными. Приводится формула нахождения всех натуральных решений уравнения Пифагора, а также другие примеры решения нелинейных уравнений
Третий раздел посвящен непосредственно методу оценки, который излагается на примерах конкретных задач, показывающих различные подходы применения этого достаточно универсального метода к решению различных нелинейных уравнений в целых числах.
В заключении кратко формулируются результаты, полученные в работе.
Представленный список литературных источников включает 11 наименований, выбранных автором при работе над данной темой.
 

Заключение:

Проведенные в курсовой работе исследования полностью соответствуют поставленной задаче: рассмотрены линейные и нелинейные диафантовые уравнения, сформулированы основные понятия и доказаны условия разрешимости линейных уравнений с двумя переменными, приведены основные приема применения метода оценки к решению нелинейных уравнений различной сложности.
Приведенный краткий исторический очерк построения теории диофантовых уравнений, изложенный в первом разделе, несомненно, может быть полезным при первоначальном знакомстве с этим разделом элементарной математики и теории чисел.
Также в курсовой работе подробно рассмотрено уравнение Пифагора и пифагоровы тройки и, в частности, приведена формула, позволяющая получить все натуральные решения этого классического уравнения.
Рассмотренные в работе примеры и задачи различной степени сложности позволяют составить достаточно полное представление о методах решения уравнений в целых числах и особенностях метода оценки,
Изложенный материал может быть рекомендован для первоначального изучения теории диофантовых уравнений, а приведенные решения нестандартных задач использованы в преподавательской практике при проведении математических кружков и дополнительных занятий.

Фрагмент текста работы:

 
1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Уравнения в целых числах рассматривались и решались еще около 4 тысяч лет тому назад. Обычно их связывают с именем древнегреческого математика Диофанта Александрийского, откуда и возникло название «Диофантовые уравнения».
В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, в которой говорится [5, с. 7, 8]: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет, проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной свое».
Это типичная задача на составление уравнения в целых числах. Решение задачи показывает, что Диофант прожил 84 года. Индусские математики примерно с пятого века также рассматривали неопределенные уравнения первой степени. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.
Первое общее решение уравнения , где − целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты (около 625 года). В 1624 году вышла книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problemes plaisans et delectables que se font par les nombress». Баше де Мезирьяк для решения уравнения применил процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей. После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер, Саундерсон и другие математики