Курсовая с практикой на тему Решение уравнений 2й степени в целых числах

Содержание:

Введение 3

Глава 1. История возникновения и способы решения сравнений первой степени 5

1.1. История развития степени и применение ее при решении 5

1.2. Степенная функция и решение уравнений: диофантовые уравнения 7

Глава 2. Анализ решений уравнений 2й степени в целых числах 9

Заключение 20

Список использованных источников 22

Введение:

Сравнение двух целых чисел по модулю натурального числа — математическая операция, позволяющая ответить на вопрос о том, дают ли два выбранных целых числа при делении на один и тот же остаток. Любое целое число при делении на дает один из возможных остатков: число от 0 до; это значит, что все целые числа можно разделить на группы, каждая из которых отвечает определённому остатку от деления на. Арифметические операции с остатками чисел по фиксированному модулю образуют модульную арифметику или модулярную арифметику, которая широко применяется в математике, информатике и криптографии.

Предпосылкой к созданию теории сравнений стало восстановление сочинений Диофанта, которые были выпущены в подлиннике и с латинским переводом, благодаря Баше де Мезириаку, в 1621 году. Их изучение привело Ферма к открытиям, которые по значению существенно опередили своё время. Например, в письме к Френиклю 18 октября 1640 года он сообщил без доказательства теорему, впоследствии получившую название малой теоремы Ферма. В современной формулировке теорема утверждает, что если — простое число и — целое число,

Первое доказательство этой теоремы принадлежит Лейбницу, причём он открыл указанную теорему независимо от Ферма не позднее 1683 года и сообщил об этом с приведением точного доказательства Бернулли. Кроме этого, Лейбницем был предложен прообраз формулировки теоремы Вильсона.

Позже изучение вопросов, посвященных теории чисел и теории сравнений, было продолжено Эйлером, который ввел квадратичный закон взаимности и обобщил теорему Ферма.

Понятие и символьное обозначение сравнений было введено Гауссом, как важный инструмент для обоснования его арифметической теории, работа над которой была начата им в 1797 году. В начале этого периода Гауссу ещё не были известны труды его предшественников, поэтому результаты его работы, изложенные в первых трёх главах его книги «Арифметические исследования» (1801 год), были в основном уже известны, однако методы, которые он использовал для доказательств, оказались абсолютно новыми, имеющими высшую важность для развития теории чисел. Используя эти методы, Гаусс преобразовал все накопленные до него сведения, связанные с операциями сравнения по модулю, в стройную теорию, которая впервые была изложена в этой же книге. Кроме этого, он исследовал сравнения первой и второй степени, теорию квадратичных вычетов и связанный с ней квадратичный закон взаимности.

Свойства сравнимости по модулю: для фиксированного натурального числа отношение сравнимости по модулю обладает следующими свойствами; свойством рефлексивности: для любого целого справедливо; свойством симметричности: если; свойством транзитивности.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю является отношением эквивалентности на множестве целых чисел. Кроме вышеперечисленных свойств, для сравнений справедливы следующие утверждения: любые два целых числа сравнимы по модулю 1; если числа и b сравнимы по модулю, и число d является делителем, то и b сравнимы по модулю d.

Актуальность темы вызвана необходимостью изучения вопроса решений уравнений 2й степени в целых числах.

Предмет исследования – теории решений.

Объект исследования – уравнения второй степени.

Цель исследования – изучить решение уравнений 2й степени в целых числах.

Задачи:

— изучение теоретической части,

— анализ примеров,

Структура работы представлена введением, двумя главами, заключением и списком литературы.

Заключение:

Заключение

Любое целое число при делении не дает один из возможных остатков: число от 0 до бесконечности; это значит, что все целые числа можно разделить на группы, каждая из которых отвечает определённому остатку от деления. Арифметические операции с остатками чисел по фиксированному модулю образуют модульную арифметику или модулярную арифметику, которая широко применяется в математике, информатике и криптографии.

В ходе выполнения курсовой работы:

• изучена теоретическая часть,

• проанализированы примеры,

Решение целыми числами алгебраических уравнений с целыми коэффициентами с более чем одним неизвестным является одной из самых сложных и старых математических задач. Наиболее выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н. э.), александрийский математик Диофант (III век н. Э.), П. ферма (XVII век), л. Эйлер (XVIII век), Ж. Л. Лагранж (XVIII век), П. ферма. Дирихле (XIX век), К. Гаусс (XIX век), П. Чебышев (XIX век) и многие другие.

Решение уравнений целыми числами также является важной задачей для современной математики. Теоретический интерес к уравнениям целых чисел довольно велик, поскольку эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «решение уравнений целых чисел». задача состоит в том, чтобы выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе стороны того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. В этом случае мы рассматривали равенство как уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к Олимпиаде, учитывая контрольно-измерительный материал ЕГЭ, мы сталкиваемся с задачами, в которых предлагались уравнения с двумя переменными. Возникло желание узнать, разрешимы ли

Фрагмент текста работы:

Глава 1. История возникновения и способы решения сравнений первой степени

1.1. История развития степени и применение ее при решении

Прослеживая историю становления теории сравнений в [1], мы встретим фамилии таких ученых и философов, как Диофант, Ферма, Лейбниц, Эйлер. Как отмечено в [2], используемое в настоящее время обозначение сравнений ввел Гаусс в труде «Арифметические исследования». Школьники знакомятся с понятием сравнения по модулю в курсах алгебры и информатики, применение сравнений в решении задач на делимость встречается в решениях олимпиадных задач и задач ЕГЭ. Знание понятий модульной арифметики является необходимым компонентом подготовки бакалавров по направлениям, связанным не только с информационной безопасностью, но смежным направлениям, касающихся разработки информационно-коммуникационных технологий: бизнес-информатика, прикладная математика и информатика, способствуя, как отметалось в [4], формированию математической культуры специалистов таких областей на основе системного подхода к преподаванию математических дисциплин.

Из практики решения все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство аО = 1 (для а≠0) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в., последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его труде «Алгоризм пропорций» [5].

Вместо нашего знака 2 он писал, вместо он писал. Орем словесно формулирует правила действий со степенями.