Курсовая с практикой на тему Решение сравнений первой степени.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ.. 3

Общая информация про теорию чисел. 5

Примеры решений. 7

Полная система абсолютно наименьших вычетов по модулю.. 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 12

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ… 14

Введение:

Сравнение двух целых чисел по модулю
натурального числа — математическая операция, позволяющая ответить на вопрос о
том, дают ли два выбранных целых числа при делении на один и тот же остаток.
Любое целое число при делении на дает один из возможных остатков: число от 0
до; это значит, что все целые числа можно разделить на группы, каждая из
которых отвечает определённому остатку от деления на. Арифметические операции с
остатками чисел по фиксированному модулю образуют модульную арифметику или
модулярную арифметику, которая широко применяется в математике, информатике и
криптографии.

Актуальность темы вызвана
необходимостью изучения вопроса решений сравнений первой степени.

Предмет исследования – теории
решений.

Объект исследования – уравнения
первой степени.

Задачи:

· изучение
теоретической части,

· анализ
примеров,

· оценка
полной системы.

Предпосылкой к созданию теории
сравнений стало восстановление сочинений Диофанта, которые были выпущены в
подлиннике и с латинским переводом, благодаря Баше де Мезириаку, в 1621 году.
Их изучение привело Ферма к открытиям, которые по значению существенно
опередили своё время. Например, в письме к Френиклю 18 октября 1640 года он
сообщил без доказательства теорему, впоследствии получившую название малой
теоремы Ферма. В современной формулировке теорема утверждает, что если —
простое число и — целое число,

Первое доказательство этой теоремы
принадлежит Лейбницу, причём он открыл указанную теорему независимо от Ферма не
позднее 1683 года и сообщил об этом с приведением точного доказательства
Бернулли. Кроме этого, Лейбницем был предложен прообраз формулировки теоремы
Вильсона.

Позже изучение вопросов, посвященных
теории чисел и теории сравнений, было продолжено Эйлером, который ввел
квадратичный закон взаимности и обобщил теорему Ферма.

Понятие и символьное обозначение
сравнений было введено Гауссом, как важный инструмент для обоснования его
арифметической теории, работа над которой была начата им в 1797 году. В начале
этого периода Гауссу ещё не были известны труды его предшественников, поэтому
результаты его работы, изложенные в первых трёх главах его книги
«Арифметические исследования» (1801 год), были в основном уже известны, однако
методы, которые он использовал для доказательств, оказались абсолютно новыми,
имеющими высшую важность для развития теории чисел. Используя эти методы, Гаусс
преобразовал все накопленные до него сведения, связанные с операциями сравнения
по модулю, в стройную теорию, которая впервые была изложена в этой же книге.
Кроме этого, он исследовал сравнения первой и второй степени, теорию
квадратичных вычетов и связанный с ней квадратичный закон взаимности.

Свойства сравнимости по модулю: для
фиксированного натурального числа отношение сравнимости по модулю обладает
следующими свойствами; свойством рефлексивности: для любого целого справедливо;
свойством симметричности: если; свойством транзитивности.

Таким образом, отношение сравнимости
по модулю является отношением эквивалентности на множестве целых чисел. Кроме
вышеперечисленных свойств, для сравнений справедливы следующие утверждения:
любые два целых числа сравнимы по модулю 1; если числа и b сравнимы по модулю,
и число d является делителем , то и b сравнимы по модулю d.

Заключение:

Любое целое число при делении на дает
один из возможных остатков: число от 0 до; это значит, что все целые числа
можно разделить на группы, каждая из которых отвечает определённому остатку от
деления на. Арифметические операции с остатками чисел по фиксированному модулю
образуют модульную арифметику или модулярную арифметику, которая широко
применяется в математике, информатике и криптографии.

В ходе выполнения курсовой работы:

· изучена
теоретическая часть,

· проанализированы
примеры,

· оценена
полная система.

Изучение в этой области привело Ферма
к открытиям, которые по значению существенно опередили своё время. Например, в
письме к Френиклю 18 октября 1640 года он сообщил без доказательства теорему,
впоследствии получившую название малой теоремы Ферма. В современной
формулировке теорема утверждает, что, если — простое число и — целое число. Первое
доказательство этой теоремы принадлежит Лейбницу, причём он открыл указанную
теорему независимо от Ферма не позднее 1683 года и сообщил об этом с
приведением точного доказательства Бернулли.

Кроме этого, Лейбницем был предложен
прообраз формулировки теоремы Вильсона. Позже изучение вопросов, посвященных
теории чисел и теории сравнений, было продолжено Эйлером, который ввел
квадратичный закон взаимности и обобщил теорему Ферма. Понятие и символьное
обозначение сравнений было введено Гауссом, как важный инструмент для
обоснования его арифметической теории, работа над которой была начата им в 1797
году.

В начале этого периода Гауссу ещё не
были известны труды его предшественников, поэтому результаты его работы,
изложенные в первых трёх главах его книги «Арифметические исследования» (1801
год), были в основном уже известны, однако методы, которые он использовал для
доказательств, оказались абсолютно новыми, имеющими высшую важность для
развития теории чисел. Используя эти методы, Гаусс преобразовал все накопленные
до него сведения, связанные с операциями сравнения по модулю, в стройную
теорию, которая впервые была изложена в этой же книге. Кроме этого, он
исследовал сравнения первой и второй степени, теорию квадратичных вычетов и
связанный с ней квадратичный закон взаимности.

Свойства сравнимости по модулю: для
фиксированного натурального числа отношение сравнимости по модулю обладает
следующими свойствами; свойством рефлексивности: для любого целого справедливо;
свойством симметричности: если; свойством транзитивности.

Таким образом, отношение сравнимости
по модулю является отношением эквивалентности на множестве целых чисел. Кроме
вышеперечисленных свойств, для сравнений справедливы следующие утверждения:
любые два целых числа сравнимы по модулю 1; если числа и b сравнимы по модулю,
и число d является делителем, то и b сравнимы по модулю d.

Фрагмент текста работы:

Общая информация про теорию чисел В работе рассматриваются все числа
целые, если не указано иное. Таким образом, в следующее определение, d, n и k —
целые числа. Число d делит число n, если существует k такое, что п = дк.
(Альтернативные термины: d — делитель n, d — множитель n, или n — кратное d.)
Эта связь между d и n обозначается символом d | п. В символ d — n означает, что
d не делит n. Обратите внимание, что символ d | n отличается от символа дроби d
/ n. Это также отличается от n / d, потому что d | n либо истинно, либо ложно,
а n / d — рациональное число [1].

Теорема (свойства делимости) для всех
чисел n, m и d

(1) d | 0

(2) 0 | п = ⇒ п = 0

(3) 1 | п

(4) (Свойство рефлексивности) n | п

(5) п | 1 = ⇒ n = 1 или n = −1

(6) (Свойство транзитивности) d | п и
п | m = ⇒ d | м

(7) (Свойство умножения) d | n = ⇒ ad | ан

(8) (Аннулирование собственности)
объявление | an и a 6 = 0 = ⇒ d | п

(9) (Свойство линейности) d | п и д |
m = ⇒ d | an + bm для всех a и b

(10) (Свойство сравнения) Если d и n
положительны и d | n, тогда d ≤ n доказательство. Для первого элемента возьмем
k = 0. Для второго, если 0 | n, то n = 0 k = 0.

Следующий пункт имеет место, потому
что мы можем взять n в качестве k в определении. Рефлексивность аналогична: n =
n 1 показывает, что это верно. Следующее свойство следует непосредственно из
основной аксиомы 3 для Z, из первого приложения.

Для транзитивности предположим, что d
| n и что n | м. Тогда n = dk1 и m = nk2 для некоторых k1, k2 ∈ Z. Подставляем, чтобы получить m = nk2 = (dk1) k2. Посредством
ассоциативного свойства умножения, (dk1) k2 = d (k1k2), которое показывает, что
d делит m [3].

Умножение также следует из
ассоциативности. Предположим, что d | п так что п = дк. Тогда an = a (dk) =
(ad) k показывает, что ad | ак.

Для отмены предположим, что a 6 = 0 и
ad | ан. Тогда есть k такие, что an = (ad) k. Покажем, что n = dk. Предположим
сначала, что a> 0. По свойство трихотомии из первого приложения, либо n>
dk, либо n = dk, либо п <дк. Если n> dk, то имеем an> a (dk) = (ad) k,
что противоречит этому предположение абзаца, что an = (ad) k. Если n <dk, то
an <a (dk) = (ad) k, также противоречащее предположению. Следовательно, n =
dk, и поэтому d | п. В аргумент для случая a <0 аналогичен.