Курсовая с практикой на тему Решение нелинейных уравнений в целых числах методом решения относительно одной переменной.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
1.1. Понятие нелинейного уравнения, его решение 5
1.2. Классификация нелинейных уравнений и методов их решения 6
2. ПРАКТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ МЕТОДОМ РЕШЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОЙ ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ 9
2.1. Решение уравнений второй степени с двумя переменными в целых числах относительно одной из переменных (выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби) 9
2.2. Решение уравнений с двумя переменными в целых числах как квадратных относительно одной из переменных 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 20

Введение:

Актуальность темы. Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались выдающиеся ученые: Пифагор (VI век до н.э.), Диофант (III в.), П. Ферма(XVII в.), Л. Эйлер (XVIII в.), Ж.Л. Лагранж (XVIII в.), П. Дирихле (XIX в.), К. Гаусс (XIX в.), П. Чебышев (XIX в.) и др.
Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, элементарной математики и других областях математики.
Решение нелинейных уравнений в целых числах является одной из важных задач, которая встречается в различных областях техники и не только. В подавляющем большинстве в инженерной практике, физике, механике приходится иметь дело с нелинейными объектами, которые соответственно часто описываются нелинейными уравнениями.
Современные средства вычислительной техники в сочетании с разработанными методами нахождения решения нелинейных уравнений позволяют эффективно и с необходимой точностью решать поставленную задачу. Но, тем не менее, внимание привлекают и точные решения нелинейных уравнений с научной точки зрения. Поскольку данный вопрос интересовал не одно поколение ученых. Это и определило актуальность и тему курсовой работы: «Решение нелинейных уравнений в целых числах методом решения относительно одной переменной».
Цель исследования: изучить сущность нелинейных уравнений, а также их решение в целых числах методом решения относительно одной переменной.
Объект исследования: элементарная математика.
Предмет исследования: решение нелинейных уравнений в целых числах относительно одной переменной.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной теме исследования.
2. Исследовать и изучить нелинейные уравнение, способы из решения в целых числах.
3. Практически реализовать решение нелинейных уравнений второй степени в целых числах методом решения относительно одной переменной.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Источниковая база исследования. Источниками для выполнения курсовой работы послужили методические пособия, статьи и учебники.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем составляет 20 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Теория решений уравнений в целых числах является классическим разделом элементарной математики. Конкретные задачи такого рода решались уже около 4 тысяч лет тому назад.
2. Нелинейное уравнение – это уравнение вида , где – нелинейная: алгебраическая функция, трансцендентная функция, комбинация данных функций.
При решении нелинейного уравнения очень часто используют приближенные методы, поскольку представить решение нелинейного уравнения в виде конечной формулы (в регулярной форме) удается довольно в редких случаях.
3. Нелинейные уравнение – это широкий класс уравнений, который включает в себя как алгебраические уравнения, так и неалгебраические (трансцендентные) уравнения. Они имеют большое значение не только для математики, но и для других наук (физики, инженерной практики, вычислительной техники и так далее).
Учитывая значение нелинейных уравнений, нужно понимать то, как же их можно решить. Основные методы решения нелинейных уравнений – это наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
4. Существует множество математических задач, где решениями есть одно или несколько целых чисел. К примеру можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Хотя они формулируюются доольно не сложно, но решить их очень сложно.
Но очень часто можно встретить задачи, где необходимо решить нелинейное уравнение в целых (или в натуральных) числах. Небольшое количество таких уравнений можно легко решить методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – еще нужно кам-то образом доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными «вручную» (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные методы, как стандартные, так и искусственные.
В курсовой работе рассмотренные нелинейные уравнения второй степени, поскольку высшая степень практически нерешаемая в целых числах. Был применен метод решения относительно одной переменной, но разными способами:
— способом выражения одной переменной через другую и выделение целой части дроби;
— способом представления как квадратных относительно одной из заданных переменных.
5. В курсовой работе было рассмотрено много иллюстративных примеров. Поэтому, цель исследования курсовой работы достигнута, а задачи, поставленные в начале, выполнены.

Фрагмент текста работы:

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Понятие нелинейного уравнения, его решение

Определение 1. Нелинейное уравнение – уравнение вида [3]:
, (1)
где – нелинейная функция:
— алгебраическая функция;
— трансцендентные функции – рациональные и иррациональные;
— комбинации данных функций (например, функция ).
Решение нелинейного уравнения (1) – это точка, подставляя которую в уравнение (1) получаем правильное тождество.
Очень часто (в случае нелинейных уравнений) на практике не всегда удается подобрать правильное решение. Тогда уравнения (1) можно решать при помощи приближенных (численных) методов. В данном случае решением нелинейного уравнения (1) есть точка, подставив которую в уравнение (1), последнее будет выполняться с определенной степенью точности.
Геометрически нахождение корня означает, что корень уравнения соответствует точке пересечения графика функции с осью абсцисс. Корень называется простым, если . В противном случае корень называется кратным [3].

Рисунок 1 – Виды корней нелинейного уравнения [3]
На рис. 1 изображен график некоторой функции . Здесь корни и – простые (график пересекает ось абсцисс под ненулевым углом), а и – кратные корни (в точке есть касание оси, а есть точка перегиба), касательная к графику в этих точках идет параллельно оси абсцисс.
Точное решение задачи (1) может быть получено лишь в исключительных случаях. Тем более что представить решение нелинейного уравнения в виде конечной формулы (в регулярной форме) удается довольно в редких случаях. Так, для алгебраического уравнения вида:
, (2)
существуют формулы для решения не выше четвертой степени. Уже начиная с 5 степени, возникают проблемы в поиске точных корней.
Даже если существует возможность решить нелинейное уравнение при помощи конечных формул для вычисления корней, использование приближенных вычислений иногда не избежать. Поскольку в процессе вычислений по найденным конечным формулам обычно могут появляться погрешности за счет округлений [4].
Таким образом, нелинейное уравнение – это уравнение вида , где – нелинейная: алгебраическая функция, трансцендентная функция, комбинация данных функций.
При решении нелинейного уравнения очень часто используют приближенные методы, поскольку представить решение нелинейного уравнения в виде конечной формулы (в регулярной форме) удается довольно в редких случаях.