Курсовая с практикой на тему Решение нелинейных уравнений в целых числах методом разложения на множители

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 4
1.1 Понятие нелинейного уравнения. Виды нелинейных уравнений 4
1.2 Метод разложения на множители 8
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ 10
2.1 Алгебраические уравнения 10
2.2 Трансцендентные уравнения 13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 19

Введение:

Составление и решение уравнений является основным разделом школьного курса математики. Овладевая методами решения уравнений, учащиеся учатся оперировать с неизвестными величинами, определять взаимосвязи между известными и неизвестными величинами.
По мере увеличения сложности материала, происходит переход от решения линейных уравнений к решению нелинейных уравнений, как более сложному виду задач.
Накопленный учащимися опыт позволяет сделать вывод о том, что большинство окружающих процессов и явлений описываются именно нелинейными функциями, поэтому изучение их свойств, составление уравнений и задач с ними, создают основу для изучения высшей математики и начал анализа.
В связи со своей сложностью нелинейные уравнения требуют применения собственных методов решения, отличных от методов решения линейных уравнений.
Одним из таких методов является метод разложения на множители, который может быть использован, как основной метод преобразования выражения там, где это требуется, а также, как вспомогательный метод при решении нелинейных уравнений алгебраического и трансцендентного видов.
Целью курсовой работы является получение практических навыков решения нелинейных уравнений в целых числах методом разложения на множители.
В соответствии с целью, курсовая работа имеет следующие задачи:
— дать понятие нелинейной функции;
— дать понятие нелинейного уравнения;
— определить виды нелинейных уравнений;
— дать определение разложения на множители;
— определить разновидности метода разложения на множители;
— дать общий алгоритм применения метода разложения на множители к решению нелинейных уравнений;
— привести практические примеры решения нелинейных уравнений в целых числах методом разложения на множители.

Заключение:

Список нелинейных функций, которым уделяется внимание в школьном курсе математики, достаточно обширен и включает в себя гиперболические, полиномиальные, степенные и т.д..Каждому виду нелинейных функций может соответствовать большое количество нелинейных уравнений. Способ решения каждого нелинейного уравнения может быть определен его видом.
В курсовой работе была приведена классификация нелинейных уравнений по виду входящих в уравнение функций:
— алгебраические уравнения;
— трансцендентные уравнения.
Свойства типов нелинейных уравнений имеют существенные различия. Так, для произвольных алгебраических уравнений до 4-го порядка известны точные аналитические методы решения. При порядке многочлена выше 4-й степени, если уравнение позволяет, могут быть применены приемы, способствующие понижению степени многочлены. В иных случаях, уравнение может быть решено численными методами, либо иметь приближенное решение.
В курсовой работе был рассмотрен такой метод решения нелинейных уравнений, как метод разложения на множители.
Данный метод способствует существенному упрощению нелинейного уравнения и сведению одной большой задачи к решению нескольких более мелких задач с меньшими степенями.
Под разложением на множители понимается тождественное преобразование, которое трансформирует сумму и произведение нескольких множителей.
В школьном курсе математики выделяют пять основных способов применения данного метода к решению задач:
— вынесение общего множителя за скобки;
— использование формул сокращенного умножения;
— метод группировки;
— метод выделения в выражении полного квадрата;
— разложение квадратного трехчлена на множители.
В практической части курсовой работы были приведены примеры решения нелинейных уравнений в целых числах алгебраического и трансцендентного типов. Их упрощение производилось путем применения метода разложения на множители.
Таким образом, все задачи курсовой работы выполнены, цель – достигнута.

Фрагмент текста работы:

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

1.1 Понятие нелинейного уравнения. Виды нелинейных уравнений

Понятие функции, в широком смысле, представляет собой одно из фундаментальных и приоритетных математических понятий. Данное понятие имеет прочную связь с реальной действительностью, так как посредством функциональных зависимостей выражается большое количество процессов и явлений окружающей действительности.
Школьный курс математики включает в себя достаточно большой объем материала, который посвящен изучению функций, их свойств, а также их применимости при решении задач различных типов.
Функциональная линия школьного курса математики представляет собой одну из ведущих тем, которая является базой для изучения других разделов алгебры и начал анализа.
Помимо этого, ключевой особенностью изучения функций, в том числе и нелинейных в школьного курсе математики, позволяет реализовывать межпредметные связи между различными дисциплинами.
Так, функциональные представления находят широкое применение при изучении других предметов, в частности, физики, геометрии и т.д.
Понятие функции является достаточно сложным понятием. Поэтому серьезное овладение данной тематикой начинается только с 7 класса, до этого временя, учащимся дается возможность накопить конкретные представления и факты, которые позволят, в дальнейшем, обобщить все это в понятие функции, как математической модели, описывающей разнообразные зависимости между некоторыми величинами.
В математике все функции можно условно разделить на две группы – линейные и нелинейные.
В данной курсовой работе будем рассматривать только нелинейные функции.
Определение 1 . Нелинейной является функция вида: