Курсовая с практикой на тему Решение геометрических задач методом подобия

Содержание:

Введение. 3

Глава
1. Процесс решения геометрических задач. 5

1.1.
Сущность и структура решения геометрической задачи. 5

1.2.
Процесс решения геометрических задач преобразование подобия на плоскости  9

Глава
2. Применение метода подобия при решении геометрических задач. 18

2.1.
Метод подобия и его применение при решении задач на построение. 18

2.2.
Методика решения геометрических задач. 21

Заключение. 31

Список
литературы. 33

Введение:

Среди объектов, рассматриваемых в геометрии, в том числе в школьном
курсе, присутствуют геометрические задачи, переводящие каждую точку плоскости (или
пространства) в какую-либо другую точку. Особое внимание школьная программа уделяет
т. н. перемещениям, или движениям, – преобразованиям, сохраняющим расстояние между
точками.

Перемещения переводят фигуры в равные им. Равные фигуры в этом
смысле, то есть фигуры, расстояния, между соответствующими точками которых одни
и те же, называются еще конгруэнтными фигурами. Этот термин восходит к Г. В. Лейбницу;
в античной математике термина для обозначения равенства в этом смысле не существовало:
равными назывались фигуры, имеющие одинаковую площадь (если речь шла о плоских фигурах)
или объем (если речь шла о трехмерных): равные фигуры в этом смысле ныне именуются
равновеликими. Равные же фигуры в современном смысле (конгруэнтные) в античности
назывались «равными и подобными». Действительно, равенство в нашем смысле сводится
к равновеликости и подобию (подобие отражает тождество формы, а равновеликость –
равенство размеров).

Объект исследования – процесс решения геометрических задач.

Предмет исследования – решение геометрических задач методом подобия.

Цель исследования – изучить решение геометрических задач методом
подобия.

Задачи:

— Сущность и структура решения геометрической задачи.

— Процесс решения геометрических задач преобразование
подобия на плоскости.

— Метод подобия и его применение при решении задач на
построение.

— Методика решения геометрических задач.

Структура работы представлена введением, двумя главами, заключением
и списком литературы.

Заключение:

Отображением плоскости на себя называется такое преобразование,
что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости,
причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной другой точке. Если при отображении
плоскости на себя фигура F преобразуется в фигуру F’, то говорят что фигура F- образ
фигуры F,а фигура F- прообраз фигуры F’. Если одним отображением фигура F переводится
в фигуру F,а затем фигура F переводится в фигуру F", то отображение, переводящее
F в F" называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения
называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение,
все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном
отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение
называется взаимно однозначным. Пусть фигура F’ получена из фигуры F взаимно однозначным
отображением f , то можно задать отображение обратное отображению f , которое определяется
так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным
отображением.

Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее
расстояния.

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в
три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят
в три точки, не лежащие на одной прямой.

Отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит
в такую точку M1, что вектор MM1 равен данному вектору а , называется параллельным
переносом на вектор а. Итак, результатом последовательного выполнения двух осевых
симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный
к этим осям ,длина которого равна удвоенному расстоянию между осями.

Очевидно, верно и обратное утверждение: любой параллельный перенос
можно представить, как результат последовательного выполнения двух осевых симметрий.
Отсюда следует, что параллельный перенос является движением, сохраняющим не только
величину угла, но и его ориентацию.

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно,
она является движением. Осевая симметрия является наложением. Следовательно, при
осевой симметрии каждый отрезок отображается на равный ему отрезок, прямая – на
прямую, луч – на луч, треугольник – на равный ему треугольник, а угол – на равный
ему угол. Осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Процесс решения геометрических задач 1.1. Сущность и структура решения геометрической задачи Решение задач – один из основных этапов усвоения учащимися системы
математических знаний, в частности геометрических понятий и связей между ними. Решая
геометрические задачи, учащиеся развивают творческие способности, самостоятельное
мышление, приобретают навыки практического применения теоретических положений геометрии.
Педагогическая практика показывает, что решение задач, не объединенных общими приемами,
не дает хороших результатов, вызывает большие затруднения у учащихся.

При планировании урока учителю необходимо обратить внимание учащихся
на теоретический материал, необходимый при решении задачи, переосмыслить его содержание
на практике. Такой методический прием подготовит учащихся к успешному восприятию
и осмыслению конкретной задачи, к осознанному применению теории на практике, будет
способствовать закреплению ранее изученного материала, приобретенные математические
знания станут более прочными.

При решении математической задачи можно выделить следующие этапы
[4]:

— изучение условия задачи;

— анализ решения задачи (поиск путей решения);

— выбор оптимального пути решения задачи;

— решение задачи;

— исследование полученного результата.

Решение задачи не просто состоит в том, чтобы найти ответ. Если
проанализировать решение какой-либо задачи, можно заметить, что оно состоит из отдельных
шагов, при этом каждый шаг решения есть применение какого-либо общего положения
математики (правила, закона, теоремы, формулы) к отдельным условиям задачи или к
полученным следствиям из этих условий.

Рассмотрим решение следующей задачи:

Длины оснований трапеции
равны 4см и 10см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции
одна из диагоналей.

Сначала построим схематическую запись этой задачи (рис. 1):