Курсовая с практикой на тему Программирование C++

Содержание:

Введение 3
1. Численое решение нелинейных уравнений 4
1.1. Постановка задачи 4
1.2. Отделение корней 5
1.2.1. Метод половинного деления 5
1.2.2. Графическое отделение корней 6
1.3. Итерационные методы уточнения корней 7
1.3.1. Метод простой итерации 7
1.3.2. Метод Ньютона 10
1.3.3. Метод секущих 11
1.3.4. Метод хорд 12
1.3.5. Комбинированный метод хорд и Ньютона 14
2. Практическая часть 16
2.1. Постановка задачи 16
2.1. Описание программы 17
2.3. Текст программы 21
2.4. Тестирование прграммы 26
Заключение. 28
Список использованных источников 29

Введение:

Вычислительная техника надежно вошла практически во все сферы общественной жизни, науки и производства. Изначально вычислительные машины (отсюда и их название) разрабатывались для произведения сложных математических вычислений. Поэтому вычислительная математика применительно к вычислительной технике считается одной из старейших наук.
Однако. Вычислительные методы начали разрабатываться задолго до становления эры ЭВМ. Крамер, Гаусс, Зейдель, Ньютон – вот далеко не полный перечень выдающихся математиков, работавших в сфере вычислительной математики.
Истоки вычислительной математики кроются в том, что, во-первых, далеко не все задачи математики можно решить аналитически, а во-вторых, иногда это просто не целесообразно, т.к. полученное аналитическое выражение трудно проанализировать, хотя затрачено очень много труда и времени.
Целью настоящей работы является исследование комбинированного метода хорд-Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Заключение:

Численные методы решения нелинейных у равнений и их систем имеют широкое распространение в среде вычислительной математики.
В зависимости от информации, требуемой для построения итерирующих функций они разделяются на одношаговые и многошаговые.
Численные методы нахождения корней нелинейных уравнений разделяются на методы, использующие производные, и методы, не использующие производные.
Одной из главных задач в выборе численного алгоритма, является решение задачи устойчивости или сходимости. Она зависит от правильного выбора аппроксимирующих функций и начального приближения.
Метод простой итерации можно назвать прообразом многих численных методов, в том числе и метода Ньютона. Он является наиболее простым в вычислительном плане, однако требует очень тщательной проработки при постановке задачи.
Наибольшей скоростью сходимости обладает комбинированный метод хорд-Ньютона, зато наиболее учтойчивым является метод половинного деления.
Количество итераций при нахождении корня зависит не только от самой функции, начального размера интервала локализации и самого метода, но еще и от точности получения корня.

Фрагмент текста работы:

1. Численое решение нелинейных уравнений
1.1. Постановка задачи
При решении многих математических и практических задач возникает необходимость найти корни нелинейного уравнения вида:
f(x) = 0 . (1)
Хорошо, если это уравнение простого вида и для него есть приемлемые формулы решения! А если это уравнение, например, трансцендентно и не имеет аналитического решения вообще!
Итак, нелинейные уравнения можно разделить на алгебраические и трансцендентные, которые кроме алгебраических функций содержат, например, логарифм или экспоненту.
Для простых уравнений можно применить прямые методы, позволяющие щаписать корни в виде некоторых конечных соотношений. В остальных случаях для нахождения корней прибегают к итерационным методам, которые от шага к шагу приближают нас к решению, хотя практиски никогда мы не можем получить точного решения. Т.е. итерационные методы (и мы идем на это умышленно!) получают решение с какой-то, заранее заданной точностью.
Таким образом, решение уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа:
1) определение местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального значения;
2) вычисление корня с заданной точностью , посредством выбранного какого-либо вычислительного алгоритма.
На первом этапе обычно определяется некоторая область. Содержащая корень, а на втором используются некие итерационные методы, в основе которых лежит рекурсия вида:
(2)
Однако, не для всякого уравнения и не для всякого итерационного метода возможно построить такую сходящуюся последовательность. Здесь необходимо проверять условия сходимости и, возможно, подыскивать или строить другую функцию . При этом если при нахождении значения xn  xk  x*, используется одно предыдущее значение m=1, то такой метод называется одношаговым. Если используется m предыдущих значений, то метод называется m-шаговым и, как правило, с увеличением m вычислительные алгоритмы усложняются.
Расчет по рекуррентной последовательности продолжается до тех пор, пока не получим | xn – xn–1| < . Тогда последнее xn выбирается в качестве приближенного значения корня (x*  xn).