Курсовая с практикой на тему Признаки подобия плоских фигур

Содержание:

Введение  2

Глава 1. Теоретическая
часть  5

1.1.  Определения понятия «подобные фигуры»  5

1.2.  Признаки подобия плоских фигур  5

1.3.  Подобие треугольников  7

Выводы по Главе 1  12

Глава 2. Анализ применения теории медианного
сопряжения в множестве классов подобия треугольника в ходе решения задач}  13

2.1.  Понятие медианного сопряжения  13

2.2.  Примеры решения задач  16

2.3.  Организация работы учащихся  18

Выводы по Главе 2  29

Заключение  26

Литература  28

Приложение  31

Введение:

Актуальность. Сущность
геометрии состоит в изучении форм: как они могут быть преобразованы,
масштабированы, измерены / вычислены углы, найденные в них, а также другие
характеристики, такие как площадь, объем и т. д. Между тем, есть некоторые
базовые теории, понимание и работа с которыми необходимы для дальнейшего
успешного освоения геометрии школьниками и смежных с нею дисциплин. К числу
таких тем относится медианное сопряжение в множестве классов подобия
треугольников.

Поэтому актуальность темы определена сложностью понимания учащимися
геометрических понятий и возможностями их использования при изучении явления
медианного сопряжения в множестве классов подобия треугольников.

Учение о подобии фигур, основывающееся на
понятиях отношения и пропорций, было создано в Древней Греции в 5-4 веках до
нашей эры. Основы учения о пропорциональности подробно разработал
древнегреческий философ Евдокс (около 408 – 355 г. до н.э.), которые
систематически изложил в пятой и шестой книгах своего главного труда «Начала»
Евклид (около 365 – 300 г. до н.э.). Понятие подобия – одно из важнейших
понятий геометрии. Оно широко применяется в практической деятельности. К подобию
фигур, в том числе треугольников, обращаются при определении расстояния до
недостижимого предмета, принцип подобия используется в устройствах различных
инструментов и приборов для измерений [11].

Понятие подобия имеет большое образовательное
значение. Данная тема занимает центральное место в изучаемом курсе геометрии,
так как сведения о подобных треугольниках широко применяются не только в
процессе изучения геометрии, а также в курсе стереометрии. В настоящее время
существует большое количество методической литературы по изучению в основной
школе подобных фигур: данная тема имеет место во всех учебниках геометрии.
Метод подобия – один из самых эффективных методов решения большого класса задач
на доказательство, построение и вычисление. Доказательство теорем с применением
подобия намного легче доказательств, которые основываются на признаках
равенства треугольников, так как обычно эти доказательства не предполагают
каких-либо вспомогательных построений, выполнение которых вызывает у школьников
трудности. Решение задач на геометрические преобразования способствует развитию
у обучающихся пространственного мышления, воображения, а также научного
мировоззрения.

Тема подобия плоских
фигур, в особенности треугольников, является важной частью школьного курса
геометрии. Подобие используется при решении задач по планиметрии как в ОГЭ, так
и в ЕГЭ. При этом процент решаемости задач 24, 25 и 26 ОГЭ и 16 задачи ЕГЭ
очень низок. В методических рекомендациях учителю математики [1] перечислены
главные причины низких результатов решения геометрических задач из ОГЭ. Среди
них выделено «использование несуществующего признака подобия треугольников – по
трём углам», что показывает, что не все ученики имеют достаточно полное и
правильное представление о подобии. К тому же в рассмотренных нами школьных
учебниках раскрывается подобие только треугольников. Таким образом, имеет смысл
более подробно раскрыть тему подобия плоских фигур.

Цель исследования:
составить сборник задач, для решения которых используются признаки подобия
плоских фигур.

На основании цели
исследования были поставлены следующие задачи
исследования:

1) Проанализировать
учебно-методическую литературу по теме – признаки подобия с целью определения
понятий признак, подобие, признаки подобия, отношения подобия, подобие многоугольников

Заключение:

Сопоставление результатов работы с поставленными
задачами позволяет заключить следующее:

1) Первоначально был проведен
анализ учебно-методической литературы по теме «Признаки подобия с целью
определения понятий «признак», «подобие», «признаки подобия», «отношения
подобия», «подобие многоугольников». Анализ литературных источником по теме
исследования позволил уточнить понятие «подобия треугольников». В рамках
настоящего исследования принимается следующее определение «две фигуры
называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием
подобия». результате исследования сделан вывод о перспективности дальнейшего
исследования проблемы. Две фигуры F и F1 называются подобными, если они
переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием,
при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются)
в одно и то же число раз.

2) Признаки подобия различных
плоских фигур могут быть рассмотрены на примере треугольников, трапеций и
многоугольников. Составлена таблица признаков подобия ряда плоских фигур
(треугольника, параллелограмма и его частных случаев, трапеции, окружностей и
правильных многоугольников). В рамках настоящей работы подобие плоских фигур рассмотрено
на примере треугольников. Выявлено, что подобие фигур может быть доказано
различными способами, степень владения которыми зависит от ступени образования
и уровня сформированности математическими навыками индивида.  Области, на которые кривая неподвижных
точек разбивает множество классов подобия треугольников, отображаются друг в
друга. Легко проверить, что рассматриваемое отображение не конформно. В работе
был рассмотрен пример решения задач на выявление признаков подобия.

3) Также в рамках работы составлен сборник задач,
для решения которых используются признаки подобия плоских фигур. Доказано, что
изучение пространственных представлений у школьников, обеспечивает грамотность
учащихся, дает им начальные пространственные представления. Данное умение
является необходимым условием социального бытия человека, формой отражения
окружающего мира, условием успешного познания и активного преобразования действительности.
Свободное оперирование пространственными образами является тем фундаментальным
умением, которое объединяет разные виды учебной и трудовой деятельности. Оно
рассматривается как одно из профессиональных важных качеств.

Таким образом, следует считать, что задачи
исследования полностью выполнены, цель достигнута.

Фрагмент текста работы:

1.1. Определения
понятия «подобные фигуры»

Понятия подобия является
одним из важнейших в курсе планиметрии. Учащиеся знакомы с реальными
предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах. Если изменить
(увеличить или уменьшить) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз,
то старая и новая фигура называются подобными. Проанализировав различные
литературные источники, мы сформулировали следующее определение:

Две фигуры называются подобными, если они
переводятся друг в друга преобразованием подобия. [156 стр уч погорелов 7-9]

Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре
F2, а фигура F2
подобна фигуре F3, то
фигуры F1 и F3 подобны.

Доказательство:

1) Пусть X1 и Y1 – две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в F2, переводит эти точки X2, Y2,
для которых

2) Преобразование
подобия, переводящее фигуру F2 и F3, переводит точки X2
и Y2 в точки X3 и Y3, для которых .

3) Из равенств ,  следует, что .
А это значит, что преобразование фигуры F1
в F3, получающееся при
последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобия.
Следовательно, фигуры F1 и
F3 подобны, что и
требовалось доказать.

Таким образом, понятие подобие фигур является
центральным в курсе геометрии и планиметрии.