Курсовая с практикой на тему Признаки делимости чисел

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект делимости чисел 5
1.1 Из истории развития делимости чисел 5
1.2 Основные понятия, теоремы, признаки делимости натуральных чисел 7
1.2.1 Определение и свойства делимости чисел 7
1.2.2 Делимость суммы, разницы и произведения 9
1.2.2 Основные теоремы о простых числах 10
1.3 Признаки делимости чисел 12
1.4 Наибольший общий делитель и способы его нахождения 16
1.5 Алгоритм Евклида 17
Глава 2. Практический аспект делимости чисел 18
2.1 Применение признаков делимости чисел для простых задач 19
2.2 Применение признаков делимости чисел для задач на доказательство 25
Заключение 28
Список использованной литературы 30

Введение:

Актуальность темы. Говоря о важной роли теории делимости чисел в математике, важно отметить тот факт, что эта теория является одним из немногих разделов математической науки в (данном случае теория чисел), с которым можно ознакомиться без каких-либо сокращений и пропусков, со всеми необходимыми конечными определениями и доказательства.
Теория делимости чисел – это логически построенный и завершенный раздел математики, который, разворачиваясь цепочкой небольшого количества достаточно простых теорем, дает возможность понимать:
— теоремы Евклида (о существовании сколь угодно больших простых чисел);
— алгоритма Эратосфена построения таблицы простых чисел;
— алгоритм Евклида для отыскания наибольшего общего делителя и применение этих знаний к решению в целых числах линейных уравнений;
— теорему о единстве разложения целого числа на простые множители.
Указанные утверждения являются фундаментом теории и в то же самое время являются самыми простыми доступными примерами теорем существования и единства и примерами простейших алгоритмов без чего немыслимо создать правильное представление о математической науке.
Изучение теоретико-числового материала имеет широкие и важные задачи и поэтому исследование вопросов его изучения является актуальным.
История отечественной и зарубежной методики обучения математике свидетельствует о том, что проблемы изучения вопросов делимости чисел всегда разрабатывались учителями и методистами. В определенном объеме эти вопросы входили во все известные программы и пособия по арифметике. Проблемы содержания и методики изучения вопросов делимости чисел рассматривались в ряде педагогических исследований.
В представленной работе рассмотрен материал, который может быть использован как на занятиях по элементарной математике, теории чисел, так и в школьном курсе математики, при подготовке к математическим олимпиадам, на факультативных занятиях. Что и определяет актуальность курсовой работы и ее тему: «Признаки делимости чисел».
Цель исследования: изучить сущность, основные положения теории деления чисел.
Объект исследования: элементарная математика.
Предмет исследования: признаки делимости чисел.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной теме;
2. Исследовать и изучить основные признаки делимости чисел;
3. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 30 страниц.

Заключение:

Таким образом, на основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. В ходе написания работы была просмотрены достаточное количество литературных источников с целью ознакомления с теорией делимости чисел.
2. Задачи по теории чисел привлекают математиков. Их условия зачастую понятны даже ученикам младших классов, однако решение этих задач требует глубоких знаний и находчивости. В работе приведен ряд задач, в которых используется теория делимости чисел.
3. Целое неотъемлемое число делится на целое неотъемлемое b, если существует такое целое невод емкое число q, что: .
Поэтому любое натуральное число А можно представить в виде:
,
где простые числа, – натуральные числа.
Для каждого числа такое представление единственное. Это утверждение называется основной теоремой арифметики.
4. Опишем основные свойства отношения делимости:
1) Рефлексивность:
.
2) Антисимметричность:

Замечание: если [3]
3) Транзитивность:
.
4. Теоремы, которые приведены в работе, для удобства определения для более легкого вида теорий сформулирована для целых положительных натуральных чисел и переносятся на целые отрицательные числа.
Основными теоремами для суммы и произведения есть:
Теорема 3 (необходимое и достаточное условие делимости суммы). Если одно из двух слагаемых делится на данное число, то чтобы его сумма делилась на число необходимо и достаточно, чтобы и второе слагаемое делится на это число.
Теорема 4 (достаточное условие делимости произведения) Если один из множителей делится на натуральное число n, то и произведение делится на это число.
Также не можно и выделить теоремы Евклида, которая гласит, что не существует наибольшего натурального простого числа (множество простых чисел бесконечно).
Нахождение НОД разложением чисел на простые множители нередко бывает слишком громоздким. Существует способ, который позволяет с меньшими трудностями находить НОД.
Теорема 8. Если , то .
Теорема 9. Если то
Для НОК есть своя отдельная теорема.
Теорема 10. Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b равно произведению этих чисел, деленному на их наибольший общий делитель, то есть:
.
5. На основе полученных результатов можно сказать, что поставленные в начале цель и задачи выполненные в необходимом уровне.

Фрагмент текста работы:

1.1 Из истории развития делимости чисел

На протяжении более 25 веков задачи теории чисел были излюбленной областью исследования выдающихся математиков и многих тысяч дилетантов. В теории значительное место отводится теории делимости целых чисел, в частности целых положительных натуральных чисел, выводы и результаты изучения которой распространяются и на целые отрицательные числа.
Еще в Древней Греции, в так называемой пифагорейской школе (6 в. до н.э.), изучалась делимость целых чисел. Были отделены отдельные подклассы целых чисел, как, например, простые числа, составные, квадратные и тому подобные. Также изучалась структура так называемых чисел [5]:
— совершенных чисел (число а, равное сумме своих истинных делителей (натуральных делителей, отличных от самого а), называется совершенным);
— дружественных чисел (если для двух чисел а и b сумма истинных делителей каждого из них равняется другому числу, то такие числа называются дружественными).
Было дано развитие в целых числах неопределенного уравнения (другими словами, был указан рецепт построения прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами) [5].
Евклид в своих «Началах» или «Элементах» дал систематическое построение теории делимости. Он впервые предложил теорему об однозначности разложения натурального числа на простые множители. Эта теорема играет основную роль в теории делимости целых чисел. С ее помощью построил арифметику рациональных чисел. Евклиду были известны четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128. Он доказал теорему, что является совершенным, если является простым.
Математики уделяют много внимания простым числам. Были попытки узнать по внешнему виду простое или составное это число, а дальше уже рассматривалась и их делимость.
Какие же основания для того, чтобы так интересоваться видом числа. Прежде всего, это потому, что любое натуральное число А можно представить в виде:
,
где простые числа, – натуральные числа.
Для каждого числа такое представление единственное. Это утверждение называется основной теоремой арифметики [2].
Простые числа можно назвать «элементарными кирпичами», из которых «строятся» другие числа.
Рассмотрим некоторые проблемы, касающиеся простых чисел. Еще в 3 в. до н.э. выдающийся древнегреческий ученый Евклид доказал, что простых чисел множество. Другой древнегреческий ученый Эратосфен изобрел способ, пользуясь которым можно находить простые числа. Этот способ назвали «решето Эратосфена» [5].
Но, тем не менее, пока что беспокоит вопрос: существует ли общая формула для нахождения всех простых чисел? Окончательного ответа ученые еще не имеют. Но интересные поиски в этом направлении велись, и стоит назвать фамилии математиков, которые занимались данной проблемой.
Великий французский ученый Марен Мерсенн (1588-1648) интересовался числами вида: . Простые числа, которые можно найти с помощью этой формулы, называются числами Мерсенна. Например, такими числами являются 3, 7, 31, 127… Однако для n=11 имеем: – сложное число, то есть формула Мерсенна описывает не только простые, но и сложные числа [5].
Леонардо Эйлеру (1707-1783) удалось доказать, что число – простое [5].
В 1852 г. Пафнутий Чебишов (1821-1894) доказал, что для любого натурального числа n>3 между числами n и 2n-2 всегда содержится простое число [5].
Например, между числами n=11, 2n-2=20 находятся следующие простые числа: 13, 17, 19.