Курсовая с практикой на тему Применение теории сравнений к выводу признаков делимости.

Содержание:

Введение. 3

Глава 1. Методические
основы обучения теме «элементы теории делимости и сравнения» в курсе алгебры
школы.. 5

1.1. История основных
понятий теории делимости и сравнения. 5

1.2. Рассмотрение
методического комплекса преподавания теории сравнимости и признаков делимости в
школьном курсе математике. 7

Глава 2. Основные понятия,
связанные с решением сравнений к выводу делимости. 9

Заключение. 15

Список литературы.. 16

Введение:

Актуальность исследования. Теория делимости является одним
из важнейших разделов арифметики и, в частности, всей теории чисел.
Невозможность деления на нуль и неопределенность операции деления во множестве
целых чисел поспособствовали возникновению таких понятий, как простые и
составные числа, наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное
(НОК), а также признаков делимости чисел. Познакомившись с операцией деления
еще в начальной школе, учащиеся более подробно знакомятся с теорией делимости в
курсе математики 5-6 классов, а также изучают ее элементы в 7-9 классах
(решение дробно-рациональных уравнений, деление многочленов). Таким образом,
основные направления методики изучения натуральных чисел и операций над ними в
начальных классах получили свое дальнейшее развитие при изучении теории
делимости уже во множестве целых чисел в курсе алгебры общеобразовательной
школы.

По мнению В.В. Зайко [21], грамотная реализация методики
обучения элементам теории делимости в учебниках 5 и 6 классов выражена в замене
объяснительных текстов проблемными ситуациями в виде практических заданий.
Выполнение таких заданий требует активного использования приемов выбора,
сравнения, классификации, преобразования и конструирования. Приоритетными
являются обучающие задания, с помощью которых устанавливаются взаимосвязи
понятий курса математики 5 и 6 классов с теми понятиями, которые учащиеся ранее
усвоили в начальных классах, то есть образуется преемственность знаний
учащихся.

В школьной практике теория делимости используется при
изучении основных понятий, основных признаков делимости и решения задач.

Проблема исследования состоит в выявлении методических
особенностей обучения учащихся разделу «Теория делимости» в курсе алгебры
основной школы.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной
школе.

Предмет исследования: методика обучения учащихся различным
элементам теории сравнимости, приводящих к признаку делимости в курсе алгебры
школы.

Цель исследования: изучить теории сравнимости приводящих к
признаку делимости в курсе алгебры школы

Задачи исследования:

1. Ознакомиться с историей происхождения понятия делимости и
основных понятий теории чисел.

2. Провести анализ учебных программ и школьных учебников от
различных авторов.

3. Изучить основные понятия, связанные с решением сравнений
к выводу делимости.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих
методов исследования:

– анализ методической литературы, а также анализ учебников и
школьной программы по математике для 5-9 классов;

– изучение опыта работы учителей;

– обобщение и систематизация теоретических и практических
знаний по рассматриваемой теме.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в
нем раскрываются методические особенности обучения учащихся разделу «Элементы
теории делимости» в курсе алгебры основной школы.

8

Практическая значимость исследования работы заключается в
том, что в ней представлена разработка элективного курса для учащихся 8 класса,
направленного на углубленное изучение темы «Элементы теории делимости».

На защиту выносится:

1. Методические рекомендации по обучению теме «Элементы
теории делимости» в школьном курсе математики.

2. Элективный курс по теме «Делимость чисел» для учащихся 8
класса. Во введении перечислены цели, основные задачи и актуальность
исследования темы данной дипломной работы.

В первой главе указаны методические основы изучения темы
«Элементы теории делимости». Рассмотрены исторические аспекты развития основных
понятий теории делимости. Представлен анализ программы и школьных учебников по
теме «Элементы теории делимости». Выявлены методические особенности изучения
темы «Теория делимость» в курсе алгебры основной школы.

Во второй главе представлены методические материалы по
изучению темы «Элементы теории делимости» в курсе алгебры основной школы.

В заключении приведено обобщение рассмотренного материала и
выводы проведенного исследования.

Список литературы содержит 35 наименований.

В Приложениях представлены сведения о тематическом
планировании элективного курса «Делимость чисел» для 8 класса, а также
примерные задания для контрольной работы по итогам этого курса.

Заключение:

Предпосылкой к созданию теории сравнений стало
восстановление сочинений Диофанта, которые были выпущены в подлиннике и с
латинским переводом, благодаря Баше де Мезириаку, в 1621. Их изучение привело
Ферма́ к открытиям, которые по значению существенно опередили свое время. Этой
же темой независимо от Ферма занимался Лейбниц. Позже изучение вопросов теории
сравнений, было продолжено Эйлером. Утвердившуюся в математике символику
предложил Гаусс. Он же впервые использовал сравнения по модулю в своей книге «Арифметические
исследования» в 1801 году. Гаусс преобразовал все накопленные до него сведения,
связанные с операциями сравнения по модулю, в стройную теорию, которая и была
впервые изложена в этой книге.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и
задачами были получены следующие выводы и результаты:

Пропедевтика, то есть введение в теорию делимости происходит
еще в начальной школе, когда учащиеся изучают доли, пытаясь разделить
количество каких-либо предметов между собой или выделяя часть или несколько
частей от одного предмета.

В нынешней учебной структуре основными для изучения теории
делимости являются 5 и 6 классы. В последующих классах средней школы
встречаются только элементы теории делимости, такие как деления дробей,
разложение многочленов на множители и деление многочленов.

При изучении теории делимости важно соблюдать правильную
последовательность подачи материала, для его полноценного усвоения учащимися. К
примеру, нельзя рассматривать темы НОД и НОК не изучив тему «Простые и
составные числа».

Элективный курс по теме «Теории делимости» может быть
использован для объяснения учащимся с высокой успеваемостью тех тем, которые не
обязательны для усвоения на текущей учебной стадии, но которые обязательно
пригодятся в дальнейшем.

Изложение элементов теории делимости в школьных учебниках
мало чем отличается друг от друга. Все определения элементарны и их сложно
представить в каком-то ином, непривычном виде. Сделав выбор в пользу одного
учебника, тем самым педагог не упустит чего-то важного из другого. Однако при
разработке факультативных занятий и элективных курсов, правильный выбор учебной
литературы крайне важен. Наилучшим вариантом будет выбор методических и
дидактических дополнений от автора выбранного школьного учебника.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Методические основы обучения теме «элементы
теории делимости и сравнения» в курсе алгебры школы 1.1. История основных понятий теории делимости и
сравнения Общая теория делимости дошла до нас в изложении Евклида (книга
VII и часть книги IX).  В основе ее лежит
алгоритм нахождения общего наибольшего делителя (алгоритм Евклида). После
введения этого алгоритма, можно уже вполне строго доказать основную теорему
теории делимости (т. е. теорему об однозначности разложения на простые
множители).

Закон однозначности разложения на простые множители является
основой всей арифметики целых чисел. В XIX веке при попытке построить
арифметику целых чисел поля K = Q(θ), где Q — поле рациональных чисел, а θ —
корень неприводимого над Q алгебраического уравнения с целыми коэффициентами и
коэффициентом 1 при старшем члене, математики столкнулись с большими
трудностями. Дело в том, что закон однозначности разложения на простые
множители для этих чисел не выполнялся [8].

Это обстоятельство, не позволявшее построить в кольцах целых
алгебраических чисел арифметику, аналогичную обычной, побудило Куммера,
Золотарева, Дедекинда, Кронекера и других математиков по-новому определить само
понятие простого числа. Они пришли к мысли, что основным, определяющим
свойством простого числа является не то, что оно не разлагается в произведение
двух множителей, а то, что доказали и древние греки: произведение двух чисел
делится на простое число в том и только в том случае, если на него делится один
из сомножителей.

Для восстановления закона однозначности в кольца
алгебраических чисел были введены новые элементы: идеальные множители, по
терминологии Куммера и Золотарева, или идеалы Дедекинда. Только после этого
стало возможным строить арифметику таких колец.

Тем более удивительно, что в античной Греции, в которой
рассматривались только целые рациональные числа, теория делимости была
построена с безупречной строгостью. Эта теория — одно из наиболее выдающихся
достижений греческой математики.

Теорию сравнения по модулю называют модульной
арифметикой. В
математике модульная арифметика — система арифметики для целых чисел, где числа
«обертывают вокруг» после достижения определенной стоимости — модуль. Знакомое использование модульной арифметики находится в 12-часовых
часах, в которых день разделен на два 12-часовых периода. Если время будет 7:00
теперь, то 8 часов спустя это будет 3:00. Обычное дополнение предложило бы,
чтобы более позднее время было 7 + 8 = 15, но это не ответ, потому что время
часов «обертывает вокруг» каждые 12 часов; в 12-часовое время нет никаких «15
часов». Аналогично, если запуски часов в 12:00 (полдень) и 21 час протекут, то
время будет 9:00 на следующий день, а не 33:00. Так как число часа начинается
после того, как оно достигает 12, это — арифметический модуль 12. Согласно
определению ниже, 12 подходящее не только 12 самому, но также и 0, таким
образом, время, названное «12:00», можно было также назвать «0:00», так как 12
подходящее 0 модулям 12 [5].

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез
Паскаль. Он родился в 1623 году. Один из самых знаменитых людей в истории
человечества. Паскаль прожил короткую жизнь, но, несмотря на это, вошел в
историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы
единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования.
Научные интересы Б.Паскаля не ограничивались созданием калькулятора: он нашёл
алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое
целое число, способ вычисления биномиальных коэффициентов, сформулировал ряд
основных положений элементарной теории вероятностей.

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на
другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр
числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на
число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (В этой записи
6-остаток от деления 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от
деления 10 на 7) [6].

Дальнейшее развитие теория чисел получила в работах Ферма,
связанных с решением диофантовых уравнений и делимостью целых чисел.

Обобщением малой теоремы Ферма и доказательством теоремы для
частных случаев занимался в начале XVIII века Эйлер. Он стал использовать для
решения задач по теории чисел математический анализ, сформулировав тождество
Эйлера, а также задачи, связанные со сложением простых чисел.

В XIX веке над теорией чисел работали многие видные учёные.
Гауссом была создана теория сравнений, с помощью которой доказан ряд теорем о
простых числах.

В начале XX века А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв и А. А.
Марков продолжили работу над теорией квадратичных форм.

И. М. Виноградов внес большой вклад в развитие теории чисел,
доказавший неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке,
определивший метод тригонометрических сумм.

В математике сегодня признаки делимости чисел классифицируют
следующим образом:

— делимость по последним цифрам числа;

— делимость по сумме цифр числа;

— делимость составных чисел.