Курсовая с практикой на тему Приближенное решение модели, выраженной задачи Дирихле методом сеток

Содержание:

Введение 6

1. Базовые понятия про дифференциальные уравнения в частных производных 8

2. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач 11

3. Метод конечных разностей (метод сеток) 13

Выводы 26

Список использованных источников 28

Введение:

Введение

В настоящее время человечество уделяет все большее внимание процессу научного познания и ускорению технического прогресса. Это приводит к целенаправленной необходимости анализа сложных процессов и систем с точки зрения их структуры, организации и функционирования. И одна и главных ролей здесь отводится математическому моделированию, как мощному инструменту исследования.

Многие установившиеся процессы различной физической природы представляют собой примеры стационарных задач, в частности, это задачи теории упругости, пластичности, дифракции, акустики, задачи распространения электромагнитных волн в волноводах и многие другие. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых процессов и явлений. А современные вычислительные алгоритмы позволяют получать с помощью компьютеров приближенные решения сложных задач с заданной точностью в требуемое время. Однако построение таких моделей невозможно без решения уравнений математической физики, представляющих собой дифференциальные уравнения в частных производных.

Нахождение их точного аналитического решения зачастую возможно лишь для весьма ограниченного круга, как правило, одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Поэтому для решения задач математической физики в случае нескольких измерений возникает необходимость использования численных методов, позволяющих преобразовывать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений.

Данная курсовая работа посвящяна изучению уравнений математической физики, особенностям задания граничных и начальных условий, методам дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, а также методам решения возникающих при этом систем алгебраических уравнений. Основное внимание в работе уделено задаче Дирихле, приводится ее формулировка и основные этапы ее решения методом конечных разностей (методом сеток), включая формирование координатной сетки, выбор шаблона конечно-разностной схемы, анализ сходимости и оценку погрешности полученного приближенного результата.

Указанный метод решения задачи Дирихле проиллюстрирован подробным примером с комментариями и рекомендациями, позволяющими составить представление об основных правилах и приемах численного решения уравнений в частных производных.

Целью данной курсовой работы является расширение знаний о методологии моделирования с использованием уравнений математической физики.

Достижение поставленной цели требует выполнения следующих основных задач:

— закрепить пройденный лекционный материал;

— проработать учебную и тематическую литературу;

— систематизировать полученную информацию.

Работа в силу разнообразия сфер применения актуальна не только для студентов и специалистов прикладной математики, но и для широкого круга ученых, технологов и инженеров.

Заключение:

Значительное количество задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям математической физики). Устоявшиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа. Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удается получить только в редких случаях. Поэтому для изучения таких математических моделей в основном используются численные методы и эти задачи решают в основном приближенно. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближенного решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей (метод сеток). С наибольшей полнотой его применение было исследовано именно к уравнениям эллиптического типа. Основная идея метода сеток состоит в том, что дифференциальное уравнение, начальные и предельные условия заменяются системой разностных алгебраических уравнений, приближенно представляющих данную краевую задачу. Уравнение в частных производных заменяется системой линейных уравнений алгебраических с числом неизвестных, зависимых от числа взятых точек. Для решения полученных нелинейных систем алгебраических уравнений или линейных систем большой размерности используют итерационные методы. При этом одной из наиболее сложных проблем является обеспечение сходимости итерационного процесса, в значительной степени определяющей время вычислений. А точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера.

Особенности в применении метода сеток к уравнениям в частных производных вызваны прежде всего тем, что для уравнений разных типов могут быть корректно поставлены задачи разного вида с начальными или граничными условиями. Метод сеток тесно связан с типом дифференциального уравнения и для уравнений разных типов нужно выбирать, вообще говоря, сетки разных видов. Однако это не служит препятствием для применения метода сеток для областей с неидеальными границами.

Установлено, что при решении дискретной задачи Дирихле для уравнения Пуасона методом конечных разностей, ее оператором является разреженная матрица. Также можно заключить, что алгоритм, использующий последовательность сеток при одинаковой точности

Фрагмент текста работы:

1. Базовые понятия про дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальным уравнением называется соотношение, которое связывает независимые величины, зависимые от них искомые функции и производные от искомых функций.

Наивысший порядок производной от неизвестной функции, которую содержит дифференциальное уравнение, называют порядком этого уравнения.

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение и исследование функций, которые удовлетворяют заданным дифференциальным уравнениям, т.е. его решений.

Различают обычные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных.

Если неизвестная функция, которая входит в дифференциальное уравнение вместе со своими производными, зависит от одного аргумента, то такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением.

Уравнение вида

(1)

является обычным дифференциальным уравнением -го порядка относительно функции одной независимой переменной.

Если неизвестная функция зависит от нескольких аргументов и уравнение содержит частные производные от неизвестной функции, то такое дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных. На практике такие дифференциальные уравнения выступают как математические модели многих физико-механических процессов.

Общий вид уравнения -го порядка в частных производных относительно функции от независимых переменных следующий: