Курсовая с практикой на тему Отношение эквивалентности

Содержание:

Введение. 1

Часть 1.
Основные теоретические положения бинарных отношений. 4

1.1Классификация
бинарных отношений, способы их задания. 4

1.2 Свойства
бинарных отношений на множестве. 6

Часть 2.
Отношение эквивалентности и отношение порядка. 13

2.1Формальные
свойства эквивалентности. Фактор-множество. 13

2.2 Сравнимые
и несравнимые элементы.. 19

2.3 Порядок
отношений. 23

Заключение. 28

Список
использованной литературы.. 29

Введение:

Нам
часто приходится говорить о равенстве каких-то объектов (предметов, множеств, абстрактных
категорий), не заботясь об уточнении смысла, который вкладываем в слово «одинаковый»,
поэтому определим термины «эквивалентность» и «отношение эквивалентности».

Важный
тип отношений — это так называемые отношения эквивалентности. Связанный с этим
принцип абстракции — важный метод создания новых концепций в математике.

Не
менее важной является ситуация, когда приходится устанавливать сходство
объектов. Если одинаковость объектов означает их взаимозаменимость в некоторой
ситуации, то сходство – это частичная взаимозаменимость, т.е. возможность
взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями, с
допустимым риском, рассмотрим применение понятий отношений эквивалентности в
различных областях знаний и практики человека.

Слово
эквивалентно в обычном языке означает «одинаково», «равносильно». Обычно для
обозначения эквивалентности используется знак «~». Можно заметить, что свойства
трех первых групп выполняются без отрицательных приставок. Действительно, если (симметрия). Если (транзитивность).

Каждый
элемент эквивалентен самому себе (рефлексивность).

Отношение,
заданное на носителе A, называется эквивалентностью, если оно рефлексивно,
симметрично и транзитивно.

Например,
отношение «жить в одном городе» на множестве людей – эквивалентность.

Самое
наглядное и всем знакомое отношение эквивалентности — разделение контингента
учащихся конкретной школы на классы. Более сложный пример, но жизненно важный:
Когда врач выписывает лекарство, он, фактически в рецепте указывает класс
эквивалентных лекарств, он не может указать совершенно конкретный экземпляр
упаковки таблеток или ампул. То есть всевозможные лекарства разбиты на классы
отношением эквивалентности. Если бы не этот факт, современная медицина просто
не была бы возможна.

Таким
образом, всевозможные рецепты салатов и коктейлей, ГОСТы и классификаторы также
определяют жизненно важные отношения эквивалентности. Отношения эквивалентности
заполняют всю нашу жизнь, а не являются абстрактной забавой математиков.

Объект
исследования: отношения эквивалентности

Предмет
исследования: свойства отношений эквивалентности

Цель
работы: используя рекомендуемую литературу рассмотреть
понятия отношения эквивалентности; рассмотреть приложения этого понятия в
различных областях знаний и практики человека.

Методы
исследования: методы теории множеств и теории
отношений.

Задачами
курсовой работы являются: изучить свойства отношения
эквивалентности и, приложения в конкретных областях знаний.

Заключение:

Понятие
отношения наряду с понятием множества «пронизывает» всю математику. Интуитивно
отношение понимается как связь объектов, задача состоит в том, чтобы, используя
сформулированные конструкции теории множеств, определить на математическом
языке, что же понимается в математике под термином «отношение».

В работе была определена эквивалентность,
классы абстракции и отношения эквивалентности, а также рассмотрен вопрос о
разбиении на  наборы и создание из них
наборов похожих элементов.

Отношение эквивалентности
— это обобщение понятия равенства. Эквивалентные элементы не различимы для
теории в каком-то фиксированном смысле, где отношение эквивалентности
представляет собой экспликацию (перевод интуитивных представлений в ранг
строгих математических понятий) таких обыденных слов как «одинаковость»,
«неотличимость», «взаимозаменяемость».

Примерами
отношений эквивалентности есть отношения параллельности на множестве прямых
некоторой плоскости; подобия на множестве треугольников; принадлежности к одной
функциональной группе объектов или к одному классу типоразмеров и т.д.

Фрагмент текста работы:

Часть 1. Основные теоретические положения бинарных отношений

1.1Классификация бинарных отношений, способы их задания

Отношения
служат одним из способов задания взаимосвязи между элементами множества, где наиболее
изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и
бинарные отношения. Для обозначения отношений будем использовать малые буквы
греческого алфавита и
т.д.

Унарное (одноместное) отношение
соответствует наличию какого-то определенного признака (свойства) у элементов
множества X (например, признак «быть отрицательным» на множестве Z целых чисел),
все элементы, обладающие выделенным признаком, образуют некоторое подмножество .

Это подмножество r
и называют унарным отношением на множестве .

Задать отношение — это значит указать:
между какими объектами оно выполняется, например, отношение «быть братом»
полностью определено, если составить список всех пар людей таких, что один из
них — брат второго.

Заметим, что здесь были заранее выбраны
множество объектов, между которыми определяется отношение. Именно, отношение
«быть братом» мы полагаем заданным на множестве людей.

Рассмотрим несколько простых примеров.

Предположим, что Татьяна, Александр и
Михаил — дети одних и тех же родителей, перечисленные в порядке старшинства.

Тогда на этом множестве из трех людей
отношение «быть братом» выполнено для следующих пар:

«Александр — брат Татьяны»,

«Александр — брат Михаила»,

«Михаил — брат Татьяны»,

«Михаил — брат Александра».

В первом и третьем суждении объекты нельзя
поменять местами. Это означает, что отношение «быть братом», вообще говоря, не
симметрично.

Если «

», то «

» только в том случае, когда —
мужчина.

Полезно обратить внимание, что отношение

«Александр — брат Александра» не
выполнено, т. е. данное отношение, как принято говорить, не рефлексивно и поэтому
поводу можно напомнить старую загадку:

«Сын моего отца, а мне не брат. Кто это
такой?».

Ответ теперь ясен: «Я сам».

Отношение «быть старше» выполнено на том
же множестве для следующих пар:

«Татьяна старше Александра»,

«Татьяна старше Михаила»,

«Александр старше Михаила».

Следующий пример показывает, что отношения
можно устанавливать и между объектами разных множеств.

Рассмотрим множество учащихся некоторой школы и множество учителей той же школы,

Тогда существует естественное отношение «

»,

где —
один нз учащихся (элемент множества ,

а — один из учителей (элемент множества ).

Для одного и того же ученика это
отношение может выполняться при разных и,
наоборот, один и тот же учитель имеет разных учеников.

Отношение может быть определено не только
для пар объектов (бинарные отношения), но и для троек, четверок и т. д., например,
отношение «образовывать футбольную команду» выполняется для некоторых групп из
11 людей. Оно задается списками основных составов футболистов, участвующих в
различных матчах.

Это отношение не следует путать с бинарным
отношением «входить в одну футбольную команду». Действительно, два игрока из
одной команды еще не образуют команды, где команду может образовывать только
комплект из 11 игроков.

Хороший пример трехместных (или, как любят
говорить математики, тернарных) отношений доставляют алгебраические операции, например,
отношение «образовывать сумму» имеет смысл для троек чисел и
выполняется в том случае, когда Пропорциональность чисел : есть отношение, выполненное для некоторых
четверок чисел (

).

Будем изучать в основном бинарные
отношения, т. е. отношения, которые выполняются (или не выполняются) между
двумя объектами.

Перейдем теперь к формальным описаниям
отношений

Большие возможности для применения
предлагают бинарные отношения.

Бинарное отношение на множестве A называется

1. рефлексивным,
если 2. иррефлексивным,
если ;

3. симметричным,
если 4. антисимметричным,
если следует ;

5. транзитивным,если