Курсовая с практикой на тему Неразрешимые задачи на построение циркулем и линейкой

Содержание:

Содержание

Введение 3

§1. Задача про удвоение куба 5

§2. Задача о трисекции угла 12

§3. Задача о квадратуре круга 16

Заключение 23

Список литературы 24

Введение:

Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было весьма высоко развито в Древней Греции. Но древние геометры вообще не смогли выполнить определенные конструкции, используя только циркуль и линейку, а конструкции, сделанные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. Такие задачи включают в себя так называемые три известные классические задачи древности: задачу о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоения куба.

В этой работе я рассмотрю вышеперечисленные классические задачи древности, которые неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Чтобы решить их, древние греки изобрели замечательные кривые, соответственно, циссоида Диоклеса, конхоида Никомеда и квадратриса Динострата. С помощью таких кривых можно решить соответствующие задачи с помощью циркуля и линейки. Стоит отметить, что циссоиды Диокла и конхоиды Никомеда были построены устройствами, которые могут нарисовать соответствующую кривую. Каждое из этих устройств представляет собой чертеж, выполненный с помощью циркуля и линейки, и с заданным непрерывным движением определенной точки чертится соответствующая кривая. Что касается задачи о квадратуре круга, то не существует устройства для рисования квадратрисы, построенного с помощью циркуля и линейки, которые могли бы нарисовать такую кривую.

Разрешимость задач на построение в значительной степени зависит от таких средств, которые могут быть использованы в построении. Алгебраический метод получил наибольшую эффективность, когда необходимо доказать, что задача построения циркулем и линейкой неразрешима. К примеру, если искомая величина х выражается через данные величины уравнением третьей степени с целыми коэффициентами и это уравнение не имеет рациональных корней, то задача неразрешима циркулем и линейкой.

Древними греками были использованы в классическом варианте циркуль и линейку (не имела делений).

Три известные задачи древности (квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба) неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но становятся разрешимы, если мы перейдем на другие средства построения. С древних времен математики опытным путем убедились, что некоторые правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки, в то время как другие не могут быть построены, но какие многоугольники можно построить, а какие нет, остается неизвестным.

Цель работы: убедиться в неразрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Предмет исследования: теория геометрических построений.

Объект исследования: задачи на построение неразрешимые циркулем и линейкой.

Методы исследования: классификация, сравнение, синтез, обобщение, математическое моделирование.

Чтобы достичь поставленной цели, нужно решить ряд задач: проанализировать исторические аспекты в рамках рассматриваемой темы, изучить известные в литературе способы решения задач, выполнить некоторые способы решения задач (с другими условиями).

Заключение:

Моделирование циркулем и линейкой операций над произвольными действительными числами приводит к обобщению известного алгебраического метода решения задач конструктивной геометрии. В настоящей работе были рассмотрены задачи, неразрешимые при помощи циркуля и линейки (в частности, классические задачи древности). Все они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.

Хотя удвоение куба оказалось неразрешимым с помощью только циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать другие средства, например, мезолябий Эратосфена или конхоиду Никомеда, также удвоение куба можно осуществить построением с помощью плоского оригами. Решение вышеизложенной задачи долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эта проблема привела к созданию новых, весьма замечательных направлений математической мысли. Сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решений любители математики – среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. В итоге, все старания решить задачу при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. При попытках решить эту задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

Фрагмент текста работы:

Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было весьма высоко развито в Древней Греции. Но древние геометры вообще не смогли выполнить определенные конструкции, используя только циркуль и линейку, а конструкции, сделанные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. Такие задачи включают в себя так называемые три известные классические задачи древности: задачу о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоения куба.

В этой работе я рассмотрю вышеперечисленные классические задачи древности, которые неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Чтобы решить их, древние греки изобрели замечательные кривые, соответственно, циссоида Диоклеса, конхоида Никомеда и квадратриса Динострата. С помощью таких кривых можно решить соответствующие задачи с помощью циркуля и линейки. Стоит отметить, что циссоиды Диокла и конхоиды Никомеда были построены устройствами, которые могут нарисовать соответствующую кривую. Каждое из этих устройств представляет собой чертеж, выполненный с помощью циркуля и линейки, и с заданным непрерывным движением определенной точки чертится соответствующая кривая. Что касается задачи о квадратуре круга, то не существует устройства для рисования квадратрисы, построенного с помощью циркуля и линейки, которые могли бы нарисовать такую кривую.

Разрешимость задач на построение в значительной степени зависит от таких средств, которые могут быть использованы в построении. Алгебраический метод получил наибольшую эффективность, когда необходимо доказать, что задача построения циркулем и линейкой неразрешима. К примеру, если искомая величина х выражается через данные величины уравнением третьей степени с целыми коэффициентами и это уравнение не имеет рациональных корней, то задача неразрешима циркулем и линейкой.

Древними греками были использованы в классическом варианте циркуль и линейку (не имела делений).

Три известные задачи древности (квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба) неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но становятся разрешимы, если мы перейдем на другие средства построения. С древних времен математики опытным путем убедились, что некоторые правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки, в то время как другие не могут быть построены, но какие многоугольники можно построить, а какие нет, остается неизвестным.

Цель работы: убедиться в неразрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Предмет исследования: теория геометрических построений.

Объект исследования: задачи на построение неразрешимые циркулем и линейкой.

Методы исследования: классификация, сравнение, синтез, обобщение, математическое моделирование.

Чтобы достичь поставленной цели, нужно решить ряд задач: проанализировать исторические аспекты в рамках рассматриваемой темы, изучить известные в литературе способы решения задач, выполнить некоторые способы решения задач (с другими условиями).

§1. Задача про удвоение куба

Признак разрешимости задач построения и невозможности построения корней некоторых кубических уравнений.

Существует ряд задач на построение, которые вообще не имеют решения ни с каким набором данных. Возьмем конкретный пример: точки М, N, P. даны на прямой. Вам нужно построить треугольник, стороны которого равны MN, MP и NP соответственно. Предположим, что желаемая фигура существует, возможно ли построить ее с помощью циркуля и линейки?

Пример 2. Дан сегмент, угол АОВ и точка М внутри угла. Необходимо построить прямую линию l, проходящую через M так, чтобы стороны угла отсекали сегмент на ней. Несмотря на простую формулировку, эта задача не будет решена с помощью циркуля и линейки.

Пусть длина желаемого сегмента выражается в виде длин этих сегментов по формуле:

x=f(a, b,…, l), (1)

Это требование в отношении формулы (1) является достаточным и необходимым условием для возможности построения.

Теорема. Отрезок можно построить при помощи циркуля и линейки тогда и только тогда, когда его длина выражается через длины данных отрезков при помощи конечного числа арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Далее приведу примеры классических неразрешимых задач построения с помощью циркуля и линейки: