Курсовая с практикой на тему Моделирование случайных величин.

Содержание:

Введение 3
1. Понятие о методе статистического моделирования. Случайные числа 5
2. Преобразование равномерного распределения в заданное 6
2.1. Разыгрывание дискретной случайной величины 6
2.2. Разыгрывание противоположных событий 7
2.3. Разыгрывание полной группы событий 8
3. Разыгрывание непрерывной случайно величины 8
3.1. Метод обратных функций 8
3.2. Моделирование случайной величины с равномерным распределением 8
3.3. Моделирование случайной величины с показательным распределением 9
3.4. Моделирование случайной величины с нормальным распределением 10
4. Решение задач 11
Заключение 22
Список литературы 23

Введение:

Метод статистического моделирования, называемый также методом статистических испытаний или методом Монте-Карло, является универсальным методом исследования стохастических систем и процессов. Он свободен от каких-либо теоретических ограничений и одинаково пригоден для моделей любой физической природы. Данный метод оказывается полезным также для решения ряда детерминированных задач, требующих сложных вычислений. Термином «метод Монте-Карло» обычно принято обозначать решение детерминированной вычислительной задачи путем определения статистических характеристик искусственно организованного случайного процесса. Само название «метод Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в Монако, знаменитого своим казино, которое в какой-то момент оказалось единственным в Европе, где можно было поиграть в рулетку – игру со случайными числами.
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода принято считать американских математиков Дж. Неймана и С. Улама., но теоретическая основа метода была известна давно. Кроме того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную весьма трудоемко и неэффективно. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ. ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники. Метод Монте- Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.).
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики, успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.
В работе проведены решения некоторых задач по методу Монте-Карло, призванные проиллюстрировать его использование.

Текст работы:

В работе была изложена теория и произведено моделирование случайных процессов в виде дискретной величины, противоположных событий, полной группы событий, непрерывных величин с разными типовыми законами распределения, а также произведена оценка надежности простейшей системы.
Было выявлено, что даже с небольшим числом испытаний оценка надежности системы методом Монте-Карло близка к аналитической.
Вышеозначенное демонстрирует широкую применяемость метода, в особенности для задач теории вероятностей, и точность, регулируемую как числом испытаний, так и совершенствованием ЭВМ.

Заключение:

Метод статистического моделирования, называемый также методом статистических испытаний или методом Монте-Карло, является универсальным методом исследования стохастических систем и процессов. Он свободен от каких-либо теоретических ограничений и одинаково пригоден для моделей любой физической природы. Данный метод оказывается полезным также для решения ряда детерминированных задач, требующих сложных вычислений. Термином «метод Монте-Карло» обычно принято обозначать решение детерминированной вычислительной задачи путем определения статистических характеристик искусственно организованного случайного процесса. Само название «метод Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в Монако, знаменитого своим казино, которое в какой-то момент оказалось единственным в Европе, где можно было поиграть в рулетку – игру со случайными числами.
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода принято считать американских математиков Дж. Неймана и С. Улама., но теоретическая основа метода была известна давно. Кроме того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную весьма трудоемко и неэффективно. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ. ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники. Метод Монте- Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.).
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики, успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.
В работе проведены решения некоторых задач по методу Монте-Карло, призванные проиллюстрировать его использование.

Список литературы:

Понятие о методе статистического моделирования. Случайные числа
Сущность метода статистического моделирования состоит в следующем: требуется найти значение a некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х. математическое ожидание которой равно а: 
М(Х)=а.                                                                                                    (1.1)
Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое:
¯x=∑▒〖(x_i)〗/n                                                                                                   (1.2)
и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а: 
a≃a*=¯x.                                                                                                    (1.3)
Поскольку метод Монте- Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют «методом статистических испытаний». Теория этого метода указывает. как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*. 
Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».
Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1). 
Случайными числами называют возможные значения, непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1). 
В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, возможные значения которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение.
Преобразование равномерного распределения в заданное
Разыгрывание дискретной случайной величины
Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т. е. получить последовательность ее возможных значений xi(i=1, 2, …, n),  зная закон распределения Х: 
X  x1  x2…xn 
 р  pl   p2…pn                                                                                         (2.1)
Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через rj(j=1, 2, …) — ее возможные значения, т. е. случайные числа. 
Разобьем интервал 0≤R <1 на оси Оr точками с координатами p1, p1+p2, p1+p2+p3, …, p1+p2+…+pn-1 на n частичных интервалов ∆1, ∆2, …, ∆n:
Для ∆1=p1-0=p1                                                                                         (2.2)
Для ∆2=(p1+p2)-p1=p2                                                                               (2.3)
…………………………………
Для ∆n=1-(p1+p2+…+pn-1)=pn.                                                                     (2.4)
Видим, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом: 
∆i=pi.                                                                                                              (2.5)
По теореме, доказанной в [2, 367]: Если каждому случайному числу rj (0≤ rj <1), которое попало в интервал ∆i ставить в соответствие возможное значение xi, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения (2.1).
Таким образом, для того чтобы разыграть дискретную случайную величину, заданную законом распределения (1.1) необходимо: 1) разбить интервал (0, 1) оси Оr на n частичных интервалов: ∆1 — (0; p1), ∆2 — (p1; p1+p2), …, ∆n — (p1+p2+…+pn-1; 1); 2) выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число rj.