Курсовая с практикой на тему Моделирование экологической проблемы

Содержание:

Введение 2
1. Модель Лотки — Вольтерры 5
2. Математическая модель «хищник – инфицированная жертва» 10
2.1 Основные экологические предпосылки 10
2.2. Основные дифференциальные уравнения 10
2.3 Равновесия и локальная стабильность 15
2.4 Биологическая интерпретация 18
3. Модель типа «хищник – жертва» c использованием Мс. Ecxel 23
Заключение 26
Список использованной литературы 28

Введение:

В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.
Одной из основных задач экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.
Одной из первых работ в области математической экологии была работа А.Д. Лотки (1880 — 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник — жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 — 1940), В.А. Костицин (1883-1963) В настоящее время уравнения описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки — Вольтерра.
Уравнения Лотки — Вольтерра описывают динамику средних величин — численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник — жертва.
Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления.
После оригинальных моделей Вито Вольтерра и Альфреда Джеймса Лотки в середине 1920-х годов для взаимодействия хищник-жертва были изучены взаимные и конкурентные механизмы широко в последние годы исследователями.
Аналогичным образом, после новаторской работы Кермак-Мак Кендрик на SIRS (восприимчиво-инфекционно-вывозно-восприимчиво) эпидемиологические модели также получили много внимания со стороны ученых.
До сих пор было уделено внимание слиянию этих двух важных областей исследований. В мы проведем анализ такой экоэпидемиологической системы.
Рассматривается экоэпидемиологическая система трех видов, а именно, (здоровую добычу), зараженная добыча (заразная) и хищник.
Рассмотрим случай, когда хищник в основном питается зараженной добычей. Это в соответствии с предыдущей моделью, который описывает модель «хищник-жертва», где жертва заражена паразитом, и жертва в свою очередь заражает хищника этим паразитом. Инфекция ослабляет добычу и увеличивает ее восприимчивость к хищникам, в то время как хищник отсутствует ослабляющий эффект учитывается.
Более того, мы наблюдаем, что бифуркационные ветви являются сверхкритическими в некотором параметрическом пространстве областей в особый случай, когда функция отклика хищника является функцией типа Холлинга II.
Данную модель можно применить в реальной жизни спроецировав ее на «человеческие» модели, что позволит спрогнозировать возможные последствия и найти пути их решения, посему данная работа крайне актуальна.
Цель работы: Изучить математическую модель Лотки – Вольтерры «хищник — жертва».
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
1. Рассмотреть основной принцип построения модели Лотки – Вольтерры.
2. Изучить математическую модель «хищник – инфицированная жертва»
3. Создать модель типа «хищник – жертва» c использованием Мс. Ecxel
Объект исследования: Модель Лотки – Вольтерры «хищник — жертва»
Предмет исследования: Модель типа «хищник – жертва» c использованием Мс. Ecxel.

Заключение:

Математические модели используют в тех случаях, когда нет естественной среды и нет естественных объектов, она помогает сделать прогноз влияния разных факторов на исследуемый объект. Данный метод берет на себя функции проверки, построения и интерпретацию полученных результатов. На основе таких форм экологическое моделирование занимается оценкой изменений, окружающей нас среды.
В настоящий момент подобные формы используется для изучения окружающей нас среды, а когда требуется изучить какую-либо из ее областей, то применяют математическое моделирование. [5, с. 19] Данная модель дает возможность спрогнозировать влияние тех или иных факторов на объект изучения. В свое время был предложен тип «хищник – жертва» такими учеными как: Т. Мальтусом (Malthus 1798, Мальтус 1905), Ферхюльстом (Verhulst 1838), Пирлом (Pearl 1927, 1930), а также А. Лотки (Lotka 1925, 1927) и В. Вольтерры (Volterra 1926).Эти модели воспроизводят периодический колебательный режим, возникающий в результате межвидовых взаимодействий в природе.
Одним из основных методов познания является моделировка. Помимо того, что в нем можно спрогнозировать изменения, происходящие в окружающей среде, к тому же помогает найти оптимальный способ решения проблемы. Уже давно в экологии используют математические модели, для того чтобы установить закономерности, тенденции развития популяций, помогают выделить суть наблюдений. Макет может служить образцом поведения, объекта.
При воссоздании объектов в математической биологии используются прогнозирования различных систем, предусматриваются специальные индивидуальности биосистем: внутренне строение особи, условия жизнеобеспечения, постоянство экологических систем, благодаря которым сберегается жизнедеятельность систем.
Таким образом, в результате работы, мы достигли цель: Изучить математическую модель Лотки – Вольтерры «хищник — жертва». Поставленные задачи:
1. Рассмотреть основной принцип построения модели Лотки – Вольтерры.
2. Изучить математическую модель «хищник – инфицированная жертва»
3. Создать модель типа «хищник – жертва» c использованием Мс. Ecxel были решены.

Фрагмент текста работы:

Модель Лотки — Вольтерры

Модель Лотки-Вольтерры описывает взаимодействие двух видов, один из которых является хищником, а другой – жертвой (например, экологическая система «караси – щуки» или «зайцы – рыси») и имеет вид:

dN1/dt=(ɛ1-ɤ1N2)N1,
dN2/dt=(-ɛ1+ɤ2N1)N2

где N1(t) – численность жертвы в момент времени t, N2(t) – численность хищника в момент времени t, ɛ1 – коэффициент прироста жертвы в отсутствии хищника, ɛ2 – коэффициент смертности хищника, (-ɛ 2 – коэффициент прироста хищника в отсутствии жертвы, ɤ1 – коэффициент истребления хищником жертв (выражением ɤ1 N1 определяет количество жертв, истребляемых одним хищником в единицу времени), ɤ2 – коэффициент переработки съеденной биомассы жертвы в биомассу хищника. Все коэффициенты являются положительными постоянными [2].
В основе системы (1) лежат следующие гипотезы:
1. В отсутствии хищников жертвы размножаются неограниченно (N’1(t) = ɛ1 N1).
2. Хищники в отсутствии жертв вымирают (N’2(t) = — ɛ2 N2).
3. Слагаемые, пропорциональные члену N1N2, рассматриваются как превращение энергии (биомассы) одного источника в энергию (биомассу) другого эффект влияния популяции хищников на популяцию жертв заключается в уменьшении относительной скорости прироста численности жертв (ɛ1) на величину, пропорциональную численности хищников).