Курсовая с практикой на тему Модель «хищник-жертва»

Содержание:

Введение 6

1. Математическое моделирование биологических систем. Базовые понятия 8

2. Модель роста популяции 12

3. Взаимодействие популяций двух видов, конкурирующих за еду 14

4. Два вида, один из которых поедает другой (тип хищник-жертва) 17

5. Два вида при различных типах взаимодействия 21

6. Обобщенные модели системы хищник-жертва 22

7. Применение моделей хищник-жертва в экономике 25

Выводы 30

Список использованных источников 32

Введение:

Введение

Сегодня невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Суть этой методологии заключается в замене исходного объекта его «образом» – математической моделью, а в дальнейшем (после детального изучения и проработки модели) – программой, реализованной при помощи вычислительных алгоритмов. Вычислительные эксперименты с моделями объектов предоставляют возможность, опираясь на современный математический аппарат и технические средства информатизации, изучать объекты с достаточной полнотой, которая ранее была недостижима при использовании чисто теоретических подходов. И неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается и охватывает все новые сферы человеческой деятельности – от разработки различных технических систем и управления ими до анализа сложных медико-биологических, эколого-экономических и социальных процессов.

Математические модели биологических и эколого-экономических процессов достаточны сложны. Их уравнения должны учитывать множество параметров, которые могут изменяться в широких пределах. Поэтому исследование таких моделей требует применения новых методов, новых подходов и алгоритмов.

Первым изучаемым объектом математической биологии и экологии стала популяция. Еще в 1202 г. Леонардо Пизанский (известный как Фибоначчи) имел четкое представление относительно роста популяции. Большую известность получил также закон роста народонаселения Мальтуса (1795). Но началом современной математической биологии, как утверждают некоторые ученые, считается книга Д’Арси Томпсона «Про рост и форму» (1917). Другие исследователи считают, что истоки математической науки про экологию и биологию идут от работ А. Лотки (1925) и В. Вольтерра (1931), предложивших математические модели, которые описывают связанные колебания численности популяций хищников и жертв.

Однако следует отметить, что логистическое уравнение или уравнение Верхюльста (одна из самых распространенных моделей популяции) было известно еще за 100 лет до этого. Но математические модели экономики и модели эколого-биологических систем появились значительно позднее.

Данная курсовая работа посвящена изучению математического моделирования биологических и эколого-экономических процессов. В разделах работы модели рассматриваются от более простых к сложным. Значительное внимание уделено вопросам построения моделей и вопросам их качественного анализа. Описаны различные типы внутривидового и межвидового взаимодействия популяций организмов. Заключительная глава посвящена аспектам использования моделей хищник-жертва в экономике.

Целью курсовой работы является расширение знаний о методологии математического моделирования объектов и систем живой природы, а также экономических явлений.

Достижение поставленной цели требует выполнения следующих основных задач:

— закрепить пройденный лекционный материал;

— проработать учебную и тематическую научную литературу;

— систематизировать полученную информацию.

Предмет исследования: математическое моделирование.

Объект исследования: математические модели систем хищник-жертва.

Тема в силу специфики области применения актуальна для студентов и специалистов прикладной математики, ученых-биологов, инженеров и экономистов.

Заключение:

Методология математического моделирования состоит в замене исследуемого объекта его «образом» – моделью, состоящей из уравнений или систем уравнений, с последующим изучением и усовершенствованием ее при помощи вычислительно-логических алгоритмов, реализуемых на компьютерах. Этот метод познания, конструирования и проектирования объединяет в себе преимущества как теоретического, так и экспериментального подхода. Работа не с самим объектом, явлением или процессом, а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. В то же время вычислительные компьютерные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на совершенство и мощь современных вычислительных методов и технических инструментов, детально и глубоко изучать объекты и системы, что является недоступным для чисто теоретического подхода. Поэтому неудивительно, что методология математического моделирования стремительно развивается, охватывая новые сферы применения.

Математическое моделирование не заменяет собой математику, физику, биологию или другие научные дисциплины и не конкурирует с ними. Наоборот, оно играет синтезирующую роль, которую трудно переоценить. Современный специалист должен в совершенстве владеть принципами построения моделей не только неодушевленной природы, но уметь моделировать и исследовать динамику процессов в биологических, эколого-экономических, социальных и в других системах, а также, зачастую, объединять их.

В процессе выполнения курсовой работы были рассмотрены следующие вопросы:

— базовые понятия математического моделирования биологических систем;

Фрагмент текста работы:

1. Математическое моделирование биологических систем. Базовые понятия

Под построением математической модели исследуемой системы понимают определение зависимостей (уравнений, статистических характеристик входящих и выходящих величин, а также различных параметров), которые описывают процессы ее функционирования. Как для детеминированных, так и для вероятностных систем модель определяют в соответствии с заранее выбранными критериями[7].

Рассматриваемые далее модели хищник-жертва представляют собой системы обычных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка:

,

где – вектор динамических характеристик исследуемого процесса; – вектор взаимодействия процесса с внешней средой; – внутренние параметры модели; – нелинейные функции аргументов ; при этом – время.

Функции строятся в соответствии с принципами системной динамики и, как правило, имеют несколько слагаемых. Положительные члены характеризируют прирост компоненты, а отрицательные – ее убывание.

Для построения уравнений требуется знать скорость «притока» и «оттока» каждой из компонент и их зависимость от других переменных, связей с внешней средой, внутренними параметрами и временем. Наличие у моделей вектора взаимодействия с внешней средой делает эти модели управляемыми[16].

В простейшем случае систему можно рассматривать без учета ее внутренних состояний, т.е.