Курсовая с практикой на тему Методы решения некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект применения понятия дифференциального уравнения 5
1.1 Сущность понятия дифференциального уравнения, его решения 5
1.2 Дифференциальные уравнения первого порядка, их виды 7
1.2.1 Дифференциальные уравнения с отделяемыми переменными 8
1.2.2 Однородные дифференциальные уравнения 9
1.2.3 Линейные дифференциальные уравнения 9
1.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли 10
1.3 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка 10
1.3.1 Методы решения уравнения с отделяемыми переменными 10
1.3.2 Методы решения однородных уравнений 12
1.3.3 Методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка 14
1.3.4 Методы решения линейных дифференциальных уравнений Бернулли 15
Глава 2. Практический аспект применения дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач естествознания 17
2.1 Дифференциальные уравнения первого порядка в экологии 17
2.2 Дифференциальные уравнения первого порядка в химии 18
2.2 Дифференциальные уравнения первого порядка в физике 20
Заключение 29
Список использованной литературы 31

Введение:

Актуальность темы. При решении многих практических задач приходится находить неизвестную функцию из уравнения, которое содержит наряду с этой неизвестной функцией ее производные.
Уравнение, которое содержит неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком. Но очень часто при моделировании жизненных процессов используется дифференциальное уравнение первого порядка, например, в физике при решении задач на прямолинейное движение, падение в химии – распад, в биологии и экологии – увеличение и уменьшение популяции, вида, в экономике – рост или падение цены. Сложно переоценить важность дифференциальных уравнений первого порядка.
Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и ее производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Любую функцию, удовлетворяющую дифференциальное уравнение, называют решением, или интегралом этого уравнения, а решение дифференциального уравнения – интегрированием.
Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, которые связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Что и определяет актуальность курсовой работы и ее тему: «Методы решения некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка».
Цель исследования: изучить основные методы их решения и приложения теории дифференциальных уравнений первого порядка в науках естественнонаучного цикла.
Объект исследования: естествознание.
Предмет исследования: дифференциальные уравнения первого порядка.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. Исследовать и изучить теоретические аспекты применения теории дифференциальных уравнений первого порядка;
3. Привести примеры применения теории дифференциальных уравнений первого порядка в науках естественнонаучного цикла.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 32 страницы.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретический аспект применения понятия дифференциального уравнения

1.1 Сущность понятия дифференциального уравнения, его решения

С задачей нахождения функции за ее производной можно встретиться практически в любой области научного познания, в том числе и естествознания (биология, химия, астрономия, экономика, математика, медицина и так дальше). Очень часто мы имеем дело с дифференциальным уравнением вида [1]:
.
Это простейшее дифференциальное уравнение. Для нахождения неизвестной функции необходимо найти интеграл от функции [3]:
.
Решить дифференциальное уравнение – это значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение превращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения [2].
Определение 1. Дифференциальным уравнением называют уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные (или дифференциалы) .
В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано таким образом [5]:
.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок производной, которая входит в уравнение.
Например:
1) — уравнение первого порядка.
2) — уравнение второго порядка.
3) — уравнение второго порядка.
Определение 3. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция , которая после подстановки в уравнение преобразовывает его в правильное тождество [6].
Для того, что убедится, что некая функция есть решением уравнения, достаточно найти производные, подставить функцию и ее производные в уравнение и проверить получение правильного тождества.
Определение 4. Решение, содержащее постоянную С, называется общим решением дифференциального уравнения [1].
Определение 5. Решение, в котором подставлено числовое значение С, называется частичным решением дифференциального уравнения [1].
При решении дифференциального уравнения сначала получаем общее решение. Затем, если известно исходные данные, получаем частичное решение.
Определение 6. Задача отыскания частичного решения дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши [1].
Таким образом, теория дифференциальных уравнений довольно развита. Используя простые и сложные алгоритмы, мы можем решить практически любую задачу. Поскольку разработан хороший математический аппарат в данной теории, она может выйти за рамки математики, используя понятие математической модели.
С помощью математической модели можно описать практически любой динамичный процесс по времени, скорости, стоимости и так дальше. Это позволяет охватить все науки естественнонаучного цикла.