Курсовая с практикой на тему Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов

Содержание:

Введение 3

Глава 1. Теоретические основы метода Лапласа 5

1.1. Преобразование Лапласа и его свойства 5

1.2. Фундаментальные концепции и результаты 6

1.3. Метод Лапласа 10

Глава 2. Практическое применение метода Лапласа асимптотической оценки интегралов 14

2.1. Примеры Преобразования Лапласа 14

2.2. Дифференциальное уравнение в асимптотической оценке интегралов 17

Заключение 19

Список литературы 20

Введение:

Актуальность исследования заключается в том, что один из важнейших методов асимптотического оценивания некоторых типов интегралов известен как метод крутых спусков. Этот метод берет свое начало в наблюдении, сделанном Лапласом в связи с оценкой интеграла, возникающего в теории вероятностей вида.

В расширениях метода Лапласа комплексный анализ, и, в частности, интегральная формула Коши, используется для нахождения контура самого крутого спуска для эквивалентного интеграла (асимптотически с большим M), выраженного в виде линейного интеграла. В частности, если нет точки x0, где производная от f исчезает существует на реальной линии, может быть необходимо деформировать контур интегрирования до оптимального, где будет возможен приведенный выше анализ. Опять же основная идея состоит в том, чтобы свести, по крайней мере асимптотически, вычисление данного интеграла к вычислению более простого интеграла, который может быть явно оценен.

Интегралы над пространствами путей или, более широко, полей были введены в качестве эвристических инструментов в нескольких областях физики и математики. Математически они должны быть задуманы как расширения конечномерных интегралов, подходящих для покрытия приложений, для которых первоначально были задуманы интегралы эвристического пути.

Условные обозначения: функциональные интегралы, бесконечномерные интегралы, полевые интегралы. Интегралы пути Фейнмана (или функционалы) и интегралы пути Винера (или интегралы по отношению к мерам типа Винера) являются частными случаями. В теории вероятностей также встречается понятие плоского интеграла (или интегралов относительно плоской меры). Конкретная реализация интегралов гауссова пути задается «функционалами белого шума».

Объект исследования – метод Лапласа.

Предмет исследования – метод Лапласа асимптотической оценки интегралов.

Цель исследования – изучить метод Лапласа асимптотической оценки интегралов.

Задачи исследования:

— Преобразование Лапласа и его свойства.

— Фундаментальные концепции и результаты.

— Метод Лапласа.

-Примеры Преобразования Лапласа.

— Дифференциальное уравнение в асимптотической оценке интегралов.

Структура работы представлена введением, двумя главами, заключением и списком литературы.

Заключение:

Заключение

В первой главе мы подробно рассмотрим вместе с серией примеров возрастающей сложности классический метод, применяемый к интегралам типа Лапласа. Рассматриваются также общие причины неравномерности асимптотических разложений, возникающих вследствие различных явлений коалесценции. Такое предварительное обсуждение, а также, как мы надеемся, представляющее общий интерес само по себе, необходимо для остальных глав, поскольку процедуру расширения Адамара можно рассматривать как «уточнение» метода самых крутых спусков, дающих гиперасимптотические уровни точности.

Фактически представлена общая установка, имеющая в виду главным образом стохастические процессы, принимающие значения в конечномерных пространствах, и их приложения.

Преобразования Лапласа также важны для управления технологическими процессами. Он помогает в переменном анализе, который при изменении дает требуемые результаты. Пример этого можно найти в экспериментах, связанных с теплом.

Во второй главе, помимо примеров, преобразования Лапласа используются во многих инженерных приложениях и являются очень полезным методом. Он полезен как в электронной, так и в машиностроительной промышленности.

Преобразование выполняется с помощью метода преобразования Лапласа, то есть дифференциальное уравнение временной области преобразуется в алгебраическое уравнение частотной области

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретические основы метода Лапласа

1.1. Преобразование Лапласа и его свойства

В этом параграфе исследуем асимптотическое поведение некоторых параметрических интегралов. Истоки метода восходят к Пьеру-Симону де Лапласу (1749-1827), который изучал стимуляцию интегралов, возникающих в теории вероятностей вида [6]

(1.1)

Здесь функции f и g являются вещественными непрерывными функциями, определенными на вещественном (конечном или бесконечном) интервале [a, b]. Далее мы будем называть интегралы типа (1.1) интегралами типа Лапласа. Лаплас сделал наблюдение, что основной вклад в Интеграл In должен исходить из окрестности точки, где f достигает своего наименьшего значения. Если f имеет свое минимальное значение только в точке x0 в (a, b), где f’ (x0) = 0 и f» (x0) > 0, то результат Лапласа равен [11]

Знак ∼ используется для обозначения того, что частное левой стороны от правой стороны приближается к 1 как n → +∞. Эта формула теперь известна как аппроксимация Лапласа. Эвристическое доказательство этой формулы может происходить следующим образом. Во-первых, мы заменяем f и g ведущими членами в их разложениях в ряд Тейлора вокруг x = x0, и ∫ затем расширяют пределы интеграции до −∞ и +∞. Следовательно,