Курсовая с практикой на тему Метод Крылова

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 2
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ МЕТОДА КРЫЛОВА 5
1.1 Сущность метода Крылова. Отыскание собственных значений матрицы 5
1.2 Определение собственных векторов по методу А.Н. Крылова 13
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КРЫЛОВА 17
2.1 Метод Крылова при решении математических задач 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 27

Введение:

Актуальность темы. Ученый и академик А.Н. Крылов еще в 1937 году предложил преобразование характеристического определителя, в результате которого будет входить исключительно в элементы одной строки или столбца. Данное преобразование дает возможность упростить вычисление коэффициентов характеристического уравнения.
Это преобразование А.Н. Крылов получил в результате рассмотрения системы n линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен. За теоремой Гамильтона-Кэли каждая матрица тождественно удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Она распространяется на любые квадратные матрицы и не накладывает никаких ограничений на природу собственных чисел. Следовательно, теорема справедлива и для матриц с кратными собственными числами.
Также метод А.Н. Крылова можно рассматривать как метод эффективного определения минимального характеристического многочлена вектора х. Это важно при решении многих математических (физических и других) задач, что и определило тему курсовой работы: «Метод Крылова».
Цель исследования: исследовать применение метода А.Н. Крылова.
Объект исследования: линейная алгебра.
Предмет исследования: метод А.Н. Крылова.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике.
2. Исследовать и изучить теоретические аспекты применения метода А.Н. Крылова.
3. Привести примеры применения метода А.Н. Крылова на практике.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы (12 источников). Общий объем составляет 27 страниц.
Во введении указана актуальность, цели и задачи исследования.
В первой главе поданные основные определения, которые используются в курсовой работе.
Во второй главе рассматриваются примеры использования метода Крылова.
В заключении подведены итоги проделанной работы в форме тезисов

Заключение:

Таким образом, метод А.Н. Крылова играет большую роль в разных областях математики, особенно, в математическом анализе и линейной алгебре, так как позволяет найти:
— собственные значения матрицы;
— собственные векторы.
Метод Крылова – это эффективный метод для определения минимального характеристического многочлена вектора х заданной исходной матрицы. Он основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен. Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.
1. Определение коэффициентов pj характеристического полинома методом А. Н. Крылова сводится к решению линейной системы уравнений .
Если система имеет единое решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического полинома . Это решение может быть найдено, например, методом Гаусса. Если система не имеет единого решения, то задача усложняется. В этом случае рекомендуется изменить начальный вектор.
2. Метод А. Н. Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы. Для простоты ограничимся случаем, когда характеристический полином имеет различные корни .
По результатам исследования можно сказать, что все поставленные задачи и цель были достигнуты на нужном для данной работы уровне. Были сделаны соответствующие выводы.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ МЕТОДА КРЫЛОВА

1.1 Сущность метода Крылова. Отыскание собственных значений матрицы

Характеристические уравнения, на основе которых вычисляются, прежде всего, собственные числа (значения), нашли большое применение в математике, физике и технике. Их можно встретить в решениях задач автоматического регулирования, решениях систем дифференциальных уравнений и т. п.
Характеристическое уравнение представляет собой любую функциональную зависимость, которая определяет математически влияние на производные переменных состояния. Это выражение приобретает конкретность в случае линейной системы, где благодаря свойствам линейной системы влияние каждой составляющей является независимым [5].
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для заданной задачи зависит от ряда факторов (тип уравнений, число и характер собственных значений, вид матрицы и т.д.). Алгоритмы определения собственных значений можно разделить на 3 группы [6]:
— прямые, основанные на раскрытии характеристических (вековых) факторов и решении характеристических уравнений;
— итерационные, основанные на многократном применении итерационного алгоритма, который приближает собственный вектор, получаемый в каждом цикле, к точному решению;
— преобразование сходства, использующие свойства подобных матриц, имеющих одинаковые собственные значения и ортогональные собственные векторы.
Наиболее очевидным путем решения задач на собственные значения является их определение из системы уравнений, которая имеет ненулевое решение лишь в случае, когда
Решение в этом случае состоит из двух этапов [8]:
— развертывание характеристического определителя непосредственно или одним из известных методов: Данилевского, Крылова, неопределенных коэффициентов, интерполирования и т. д.;
— решение полученного характеристического уравнения, корни которого и будут собственными значениями матрицы.
В курсовой работе рассматривается метод Крылова. Он применим к матрицам не больше 9 порядка [9].
Если дана матрица , то ее характеристическое (вековое) уравнение будет иметь следующий вид [2]:
В левой части данного уравнения (1) стоит характеристический многочлен n-й степени . Чтобы непосредственно вычислить коэффициенты указанного многочлена необходимо раскрыть характеристический определитель , а это в случае больших значений n провоцирует большие объемы вычислительной работы, в связи с тем, что входит в состав диагональных элементов определителя.