Курсовая с практикой на тему Метод доказательства от противного в решении задач

Содержание:

Введение 2
Глава 1. Теоретические основы доказательства от противного и олимпиадных задач 3
1.1. Доказательство от противного в решении задач: понятие, сущность 3
1.2. Понятие и виды олимпиадных задач 8
Выводы по главе 1 10
Глава 2. Практическое применение доказательства от противного в контексте олимпиадных задач 11
2.1. Метод доказательства от противного на примере олимпиадных задач 11
2.2. Олимпиадные задачи на использование принципа Дирихле 15
Выводы по 2 главе 20
Заключение 21
Список использованной литературы 22

Введение:

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме. «Доказательство от противно-го – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обрат-ную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказа-тельстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуж-дения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противопо-ложному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему». Доказатель-ство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно».
Актуальность исследования заключается в том, что доказательство от противного очень часто применяется в математике при решении олимпиадных задач.
Проблема исследования состоит в выявлении сущности и определения методоло-гии в доказательстве от противного при решении олимпиадных задач.
Объект исследования: процесс применения метода доказательства от противного при решении олимпиадных задач.
Предмет исследования: метод доказательства от противного.
Цель исследования: раскрыть суть метода доказательства от противного при реше-нии задач, на примере решения олимпиадных задач.
Задачи исследования: 1. Рассмотреть понятие и сущность доказательство от про-тивного в решении задач; 2. Изучить понятие и виды олимпиадных задач; 3. Раскрыть методику доказательства от противного при решении олимпиадных задач; 4. Рассмотреть практическое применение принципа Дирихле при решении олимпиадных задач
Научная и практическая значимость исследования заключается в том, что пред-ложенные в ходе работы методы решения олимпиадных задач, могут быть использованы учителями при подготовке к олимпиадам.
Источники и материалы: психолого-педагогическая и методическая литература, школьные программы, учебники и учебные пособия.
Степень разработанности проблемы. Данной проблеме посвятили свои работы такие исследователи как: А.В. Фарков, В.А. Шеховцев, П.А. Вакульчик, Н.Б. Васильев, Т.А. Горбунова.
Структура: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использо-ванной литературы.

Заключение:

Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач. Это обусловлено, прежде всего выбором разделов, традици-онно рассматриваемых на олимпиадах.
Теория игр, графы, уравнения в целых числах и т. д. не рассматриваются в школь-ном курсе математики.
Уже не говоря о принципе Дирихле, элементах теории чисел, четности, логиче-ских задачах. Олимпиадные задачи по геометрии и других «знакомых» разделов требуют нестандартного подхода.
Подготовка учащегося к участию в олимпиаде — труд не одного года.
Ясно, что не каждого учащегося, имеющего по предмету отличную оценку, имеет смысл направлять на олимпиаду.
Дело в том, что на выполнение олимпиадного задания отводится строго опреде-ленное время, в качестве задач предлагаются не задачи базового или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные.
Эти задания могут быть простыми по формулировке, но выходящими за рамки школьной программы.
В нашем исследовании мы разобрали несколько методов решения олимпиадных задач, таких как: метод доказательства от противного и принцип Дирихле.
Каждый принцип хорош по-своему, но требует от школьников логического мыш-ления и рассуждения.
Цель работы была достигнута путем решения следующих задач:
1. Рассмотрено понятие и сущность доказательство от противного в решении задач
2. Изучено понятие и виды олимпиадных задач
3. Раскрыта методика доказательства от противного при решении олимпиадных задач
4. Рассмотрено практическое применение принципа Дирихле при решении олим-пиадных задач

Фрагмент текста работы:

Доказательства от противного не является математическим методом, хотя и ис-пользуется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, ко-гда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и толь-ко тогда, когда ему нет замены.
Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой тео-ремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». [14]
Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засви-детельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного. [27]
Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным ма-тематическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой фор-ме так: из А следует Е. Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется до-казать. [25]
Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логиче-ским методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логи-ческое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е, дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е.
В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, за-ключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е. Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответству-ет доказательству теоремы методом от противного. Согласно закону, одна часть противо-речивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исклю-чено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно ка-кая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено. Согласно толковому словарю математических терминов, «дока-зательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или лож-ность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)». Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.
Дано: из А следует Е и из А не следует Е.
Доказать: из А следует Е.
Доказательство: Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, ко-торое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и без-ошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не сле-дует Е. Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е. Утверждение из А следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.