Курсовая с практикой на тему Математика бильярдного шара

Содержание:

Введение. 3

Глава I.
Теоретические основы математики бильярдного шара. 5

1.2.
Основные понятия математического бильярда. 5

1.2.
Свойства математических бильярдов. 10

Глава II. Основные методы решения задач о математических
бильярдах. 26

2.1.
Виды задач о математических бильярдах. 26

2.2.
Методы решения задач о математических бильярдах. 28

Заключение. 40

Введение:

Актуальность проблемы. В условиях развития компьютерных
технологий, создание математических пакетов для решения многих задач из разных
областей математики возникает проблема поиска наиболее оптимальных путей
решения. Не последнюю роль в решении этой проблемы играет изучение теории
математических бильярдов. Поэтому рассмотрение этого вопроса, установления
связей основ этой теории с решениями проблем информатики, физики достаточно
важным компонентом учебного курса «Высшая математика». Кроме этого, некоторые
сведения уместно было бы изучать в средней школе для решения задач повышенной
сложности, при подготовке учащихся к математическим олимпиадам, на
факультативах по математике и в классах с углубленным изучением математики.

Изучение математических бильярдов, как системы
движения абсолютно упругого тела (без учета сопротивления среды), послужило
основой концепции детерминированного хаоса. К системам, отвечающим бильярд,
сводятся ряд задач статистической физики. Многие сложные для аналитического
решения математические задачи легко решаются с помощью построения траекторий
бильярдов в прямоугольной и выпуклой области. Четко прослеживается связь такой
науки, как оптики с проблемами построения траекторий математических бильярдов в
эллипсе и др. Все это свидетельствует о необходимости дальнейшего рассмотрения
данной темы, использование для решения вопросов теории бильярдов современных
компьютерных программ. Для этого были изучены работы известных математиков,
занимавшихся этой проблемой. Цель исследования
— изучение основных теоретических сведений математики
бильярдного шара.

Объект исследования
– траектории бильярдного шара.

Предмет
– методы решения задач.

В соответствии с изучаемой проблемой,
целью, объектом, предметом исследования были поставлены следующие задачи:

Структура и объем курсовой работы состоит из
введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Заключение:

В нашей исследовательской работе мы узнали больше про
обычный бильярд, а также метод математического бильярда, как с помощью него
можно решать задачи. Метод математического бильярда для решения задач на
переливания удобней, чем составления таблиц, и мы надеемся, что этот метод
будет использоваться в будущем. Бильярд. Квант. Ноябрь декабрь 1995 №6

Математические бильярды, Гальперин Г.А., Земляков А.Н., 1990

Трещев Д. В. Об одной задаче сопряжения в динамике бильярда.
// труды математического института им. В.А. Стеклова, 2015, т. 289, с. 309–317.

Фрагмент текста работы:

Глава I. Теоретические
основы математики бильярдного шара 1.2. Основные понятия математического бильярда Бильярдная игра – источник научных исследований по
механике и математике. Но в математических исследованиях реальный бильярд
заменяют его моделью «математический бильярд», представляющая собой стол без
луз с упругими бортами, где шар –
это точка, движущаяся без трения и отражающаяся от стенок согласно закону механики. (При
отражении шара от прямолинейного борта «угол падения» шара равен «углу его
отражения» (закон упругого отражения). Бильярдный шарик является точечным, т.е.
«размерами шарика в данных рассмотрения можно пренебречь».) Но если
границы бильярдного стола имеют угловые точки, то рассматривают движения, не
проходящие через эти точки. рис.1

 Что такое бильярдная траектория? Шар движется
вдоль ломаной, которая называется бильярдной траекторией. Общая математическая проблема
бильярда заключается в том, чтобы описать
возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип
такого описания — разделение траекторий на периодические,
или замкнутые, и остальные — непериодические.

Периодические бильярдные траектории — это траектории, которые
после некоторого числа отражений от границы повторяют сами себя. Т.е. такие
траектории будут являться замкнутыми, либо это будет правильный многоугольник,
вписанный в окружность, либо самопересекающаяся звезда.

Непериодические бильярдные
траектории — это бесконечные траектории. Шарик движется
по любой непериодической траектории неограниченно долго и при этом никогда не
проходит через одну и ту же точку дважды в одинаковом направлении.

Изучение
замкнутых, периодических бильярдных траекторий – классическая задача, впервые
поставленная Джорджем Биркгофом. Он доказал нижнюю оценку на количество
замкнутых бильярдных траекторий данной длины в любой плоской области.

Теорема Биркгофа.  В выпуклой ограниченной фигуре
Q с гладкой границей можно обнаружить периодическую траекторию из двух звеньев.
Для этого возьмем 2 наиболее удаленные точки А и В фигуры Q и соединим их
отрезком. Получится замкнутая ломаная