Курсовая с практикой на тему Контекстуальный анализ понятия «периодическая функция» в учебниках алгебры средней школы.

Содержание:

Введение. 3

Глава
1. Анализ понятия периодической функции. 4

1.1.
Периодическая функция в литературе. 4

1.2.
Понятие периодической функции в учебниках математики. 6

Глава
2. Периодические функции и их свойства. 9

Заключение. 16

Список
использованных источников. 18

Введение:

Актуальность исследования. Одним из основных направлений
школьного курса математики является исследование ситуаций реального мира с
использованием математических моделей, основной математической моделью является
функция. Функциональная линия — один из четырех основных разделов содержательных
линий школьного курса алгебры (учение о функции, учение о числе, уравнения и
неравенства, тождественные преобразования). Она пронизывает целый курс
математики. В 5 – 6-х классах осуществляется функциональная пропедевтика, в 7-9
классах происходит систематическое изучение функционального материала. Затем
тема «Функции» продолжает изучаться в старших классах.

В ходе длительного времени силы ученых математиков и
методистов были ориентированы на введение функционального материала в школьный
курс математики. Существенное влияние на этот шаг в совершенствовании
математического образования оказали идеи известного педагога-математика Ф.
Клейна (1849 – 1925). Он был убежден в ведущей роли понятия функции и в
математике-науке, и в обучении математике.

Действующая примерная программа содержит существенно
увеличенное количество сведений функционального содержания после проведенной в
70-е гг. XX в. реформы математического образования. Расширение понятийного
аппарата вплоть до включения начал математического анализа подняло
функциональные представления учащихся на новый качественный уровень.

Объект исследования: процесс обучения алгебре в основной
школе.

Предмет исследования: методика обучения учащихся теме «периодическая
функция» в учебниках алгебры средней школы.

Цель исследования: провести контекстуальный анализ понятия
"периодическая функция" в учебниках алгебры средней школы.

Задачи исследования:

— Периодическая функция в литературе.

— Понятие периодической функции в учебниках математики.

— Периодические функции в задачах учебных материалов.

Для решения задач были использованы следующие методы исследования:
анализ методической литературы; анализ школьных программ и учебников; изучение
опыта работы учителей математики.

Структура работы представлена введением, двумя главами,
заключением и списком использованной литературы.

Заключение:

Понятию периодической функции в разных учебниках
даются различные определения, однако независимо от этих различий периодическими
являются или не являются одни и те же функции, поэтому говорят, что эти определения равносильны,
или эквивалентны, т.е. описывают одно и то же свойство функций,
означают одно и то же.

Наиболее просто, по нашему убеждению, дать определение
периодической функции в два шага:

1. Число T≠0T≠0 называется периодом функции
f, если вместе со всяким числом x∈D(f)x∈D(f) числа
х+Т и x-Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство f(x+Т)=f(x).

2. Функция называется периодической, если она имеет
хотя бы один период.

Естественно, функцию называют периодической с периодом
Т, если число Т является ее периодом.

Сама форма определения периода подсказывает, что периодов у
функции может быть много: в нем подразумевается, что всякое число Т с указанным
свойством является периодом функции f, а вы прекрасно знаете, что если Т —
период f, то любое его кратное, т.е. число вида nТ, где n — любое целое число,
является ее периодом.

В частности, поэтому некорректны, строго говоря, часто
встречающиеся фразы типа «Периодом функции y=sinxy=sinx является 2π2π»
— периодов у синуса много, и лишь один из них равен 2π2π. В то же время не
может вызвать никаких возражений фраза — из те же слов, но в другом порядке: «2π2π является
периодом функции y=sinxy=sinx».

Отметим, что не всякая периодическая функция имеет основной,
т.е. наименьший положительный период — например, периодом постоянной функции
является любое число, отличное от 0, но, пожалуй, самая простая из таких
функций, отличных от постоянной, — это «экзотическая» функция Дирихле.

Полезно — особенно для экономии времени при решении
задач с кратким ответом — знать, что сумма двух периодических функций с
одинаковым периодом является периодической функцией, и более того, для периодичности
суммы достаточно, чтобы отношение каких-то двух их периодов Т1 и
Т2 являлось рациональным числом (такие числа Т1 и
Т2 часто называют соизмеримыми).

Понятие о тригонометрических функциях числового аргумента
рассматривается в Х классе на основе повторения известных учащимся сведений из
курса алгебры IX класса.

В Х классе важно выделить все существенные признаки понятия
«тригонометрические функции числового аргумента» исходя из двух понятий: «числовая
функция» и «тригонометрическая функция углового аргумента».

При рассмотрении понятия «тригонометрические функции
числового аргумента» важно сделать актуально осознаваемой учащимися идею соответствия
каждому действительному числу (значению аргумента) другого действительного
числа (значения тригонометрической функции).

Использовать определение тригонометрической функции
числового аргумента и известные свойства этих функций для построения графиков.

Отработать существенные признаки понятия «периодическая
функция» в ходе решения задач; с этой целью (и на основе анализа набора задач
учебника) составить систему задач.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Анализ понятия периодической функции 1.1. Периодическая функция в литературе Автор статьи «Как возникло и развивалось понятие функции» [3]
Н.Я. Виленкин утверждает, что идея функциональной зависимости восходит к давним
временам, когда человечество стало осознавать взаимосвязь окружающих явлений.
Люди не обладали вычислительными навыками, однако видели, что степень сытости
племени зависит от количества собранных ягод. Со временем число известных людям
связей между величинами увеличивалось. Большинство из этих зависимостей стали
выражаться с помощью чисел. Если за одну овцу предоставляли 5 корзин ягод, то
за двух – 10, а за трех – 15. Так возникло представление о пропорциональности величин.

От создания таблиц до формирования общего понятия
функциональной зависимости прошло много времени, но начало было положено. Исследование
общих зависимостей между величинами начал в 14 столетии французский ученый
Николай Оресм. В его рукописях содержатся рисунки, напоминающие современные
графики функций. Он даже пытался классифицировать эти графики. Однако его идеи
опережали уровень науки того времени. Для их развития необходимо было уметь
выражать зависимости между величинами с помощью формул. Но буквенной алгебры
тогда еще не существовало. И только в 16 столетии, в связи с проникновением
идеи переменных, появилась возможность дальнейшего развития понятия функции.

Понятие переменной величины ввел в науку французский
математик Рене Декарт (1596 – 1650). Зависимости между величинами стали изображаться
числами. Это была неявно выраженная идея числовой функции числового аргумента.
Записывая зависимости, Р. Декарт стал употреблять буквы. Отношения между
известными и неизвестными величинами Р. Декарт выражал в виде уравнений. В
целях наглядности изображения уравнения, он заменял все величины длинами отрезков.
Это можно считать моментом зарождения метода координат. В одно и то же время с
Р. Декартом к идее соответствия между линиями и уравнениями пришел французский
математик Пьер Ферма (1601 – 1665).

К началу 17 столетия математики были знакомы с эллипсом, гиперболой,
параболой и прочими кривыми. Но тогда еще отсутствовал единый метод
исследования линий. Открытия Р. Декарта и П. Ферма позволили получать и исследовать
новые кривые по их уравнениям [6, С. 10 – 12].

После создания идеи переменных и буквенной алгебры силы
ученых были направлены на изучение соответствий между величинами. С помощью
координат данные соответствия изображались графически.

Первоначально понятие функции находилось в непосредственной
связи с геометрическими, а также механическими представлениями. У И. Ньютона
понимание о переменной величине появилось с рассмотрением вопросов механики.
Под функцией он понимал величину, изменяющуюся с течением времени. Р. Декарт и
П. Ферма (1601 – 1665) связывали представление о переменной величине с
исследованием вопросов геометрии [11, С. 99].