Курсовая с практикой на тему Комплексные числа в решении квадратных уравнений

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ 4
1.1. Понятие и сущность комплексного числа 4
1.2. Действия с комплексными числами 8
ГЛАВА 2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМ 13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 19

Введение:

Развитие идей о числах является важной частью нашей истории. Это одна из основных математических концепций, которая позволяет вам выразить результаты измерения или подсчета. Отправной точкой для многих математических теорий является понятие числа. Он также используется в механике, физике, химии, астрономии и многих других науках. Кроме того, в повседневной жизни мы постоянно используем цифры.
В течение 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых, возможность дать им геометрическую интерпретацию. Техника операций над комплексными числами постепенно развивалась. На рубеже 17 и 18 веков общая теория корней n-й степени была сначала построена из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел.
В конце 18-го века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что мнимые величины больше не мешают математическому анализу. Используя комплексные числа, мы научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
Дж. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение 18-го века многие сложные проблемы были решены с помощью комплексных чисел, включая прикладные проблемы, связанные с картографией, гидродинамикой и т. Д., Все еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с использованием мнимых чисел, являются лишь ориентировочными, приобретая характер истинных истин только после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18 и начале 19 веков была получена геометрическая интерпретация комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.
На сегодняшний день комплексные числа активно используются в математике.
Таким образом, объектом исследования являются комплексные числа, а его предметом — комплексные числа в решении квадратных уравнений.
Объект и предмет исследования определили его цель – изучить комплексные числа в решении квадратных уравнений.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Изучить понятие и сущность комплексных чисел;
2. Рассмотреть действия с комплексными числами;
3. Рассмотреть использование комплексных чисел в решении квадратных уравнений.  

Заключение:

Комплексные числа были введены впервые благодаря тому, что была выделена формула для вычисления корней кубического уравнения. Тарталья, итальянский математик, получил в первой половине шестнадцатого века расчетное выражение для корня уравнения с точки зрения некоторых параметров, чтобы найти, что было необходимо для составления системы. Однако было обнаружено, что такая система не имеет решения для всех кубических уравнений в действительных числах.
Одна из причин введения рациональных чисел связана с требованием, чтобы любое линейное уравнение ax = b (где a  0) было разрешимым. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо, только если b делится целиком на a.
Одна из причин расширения набора рациональных чисел до набора действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнений вида x2 = 2. На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, потому что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, – число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение x2 = 2 разрешимо, оно имеет два решения x1 = и x2 = – .
Таким образом, действительных чисел явно недостаточно для построения такой теории квадратных уравнений, в которой каждое квадратное уравнение разрешимо. Это рассмотрение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять набор действительных чисел на набор комплексных чисел, в которых любое квадратное уравнение разрешимо.

Фрагмент текста работы:

ГЛАВА 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ
1.1. Понятие и сущность комплексного числа
Математическая теория развивается последовательно, от простого к сложному. Давайте разберемся, как концепция стала называться «комплексным числом» и зачем она нужна.
С незапамятных времен основой математики был обычный счет. Исследователи знали только естественный набор значений. Сложение и вычитание были просты. По мере того, как экономические отношения становились все более сложными, вместо сложения одних и тех же ценностей стало применяться умножение. Произошла обратная операция умножения — деление [8].
Понятие натурального числа ограничивало использование арифметических операций. На множестве целочисленных значений невозможно решить все проблемы деления. Работа с дробями привела сначала к понятию рациональных значений, а затем к иррациональным значениям. Если для рационального можно указать точное местоположение точки на прямой, то для иррационального невозможно указать такую точку. Вы можете только приблизительно указать интервал нахождения. Сочетание рациональных и иррациональных чисел образовало реальное множество, которое можно представить в виде некоторой линии с заданным масштабом. Каждый шаг по линии представляет собой натуральное число, а между ними находятся рациональные и иррациональные значения [1].
Эра теоретической математики началась. Развитие астрономии, механики и физики требовало решения все более сложных уравнений. В общем, корни квадратного уравнения были найдены. Решая более сложный кубический многочлен, ученые столкнулись с противоречием. Понятие кубического корня негатива имеет смысл, но для квадрата получается неопределенность. Более того, квадратное уравнение является лишь частным случаем кубики.
В 1545 году итальянец Дж. Кардано предложил ввести понятие мнимого числа.
Это число было корнем второй степени минус один. Наконец, термин комплексное число сформировался только через триста лет в работах знаменитого математика Гаусса. Он предложил формально распространить на мнимое число все законы алгебры. Реальная линия расширилась до плоскости. Мир стал больше.