Курсовая с практикой на тему Катеноид и его свойства

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………….………………3
1. КАТЕНОИД КАК МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ……………………………………………………………5
.1. Регулярные и минимальные поверхности……………….5
.2. Определение катеноида и его различные уравнения……8
2. ГЕОМЕТРИЯ КАТЕНОИДА……..…………………..….…………….12
.1. Первая квадратичная форма катеноида.……..………………12
.2. Вторая квадратичная форма и кривизны катеноида.………14
3. ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КАТЕНОИДА. ТЕОРЕМА О МИНИАЛЬНОСТИ ПОВЕРХНОСТИ …………17
3.1. Вычисление объема и площади поверхности …………………17
3.2. Теореме о минимальности поверхности ……………………….18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………..20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………….21
 

Введение:

На протяжении столетий особое внимание математиков, или, как было принято говорить в прошлые века, геометров, привлекали необычные свойства геометрических объектов. Такие задачи, как, например, нахождение уравнения линии, по которой провисает тяжелая нить под действием силы тяжести, уравнения кривой скорейшего спуска, получившей название «брахистохрона» или нахождения кривой наименьшей длины, соединяющей две выбранные точки на некоторой поверхности (геодезическая линия, обобщающая понятия прямая для искривлённых пространств. и другие стимулировали появление специальных разделов математики и новых методов решения возникающих задач.
К таким объектам относится и рассматриваемый в настоящей курсовой работе катеноид, представляющий собой тело, ограниченное поверхностью, образованной вращением цепной линии вокруг ее оси (рис.1). Отсюда и название тела: от латинского слова catena – цепь, и греческого слова ειδος– вид. Эту поверхность открыл Ж. Мёнье, экстремальные свойства описал Л. Эйлер, а название поверхности ввел Ж. Плато, в процессе проведения физических исследований поверхностей, образованных мыльными пленками.
Оказалось, что, если в пространстве в параллельных плоскостях поместить две проволочные окружности так, чтобы линия их центров была перпендикулярна плоскости каждой из них, и «натянуть» на них мыльную пленку (пленка должна быть между плоскостями), то пленка под действием поверхностных сил натяжения примет форму катеноида (рис.1). Среди всех поверхностей, которые можно «натянуть» на эти круги, она имеет минимальную площадь (так называемая «минимальная поверхность»). При этом оказалось, что катеноид – единственная минимальная поверхность среди поверхностей вращения.
В дифференциальной геометрии свойства поверхностей описывают с помощью таких понятий как первая и вторая квадратичные формы, полная и средняя кривизны, регулярные и особые точки, наложение и изгибания поверхностей и другие [1–14]. Однако в большинстве учебных пособий рассматриваются лишь отдельные свойства катеноида, и поэтому единое и достаточно полное (в определенном смысле) описание этой поверхности является актуальным.

Катеноид.
Настоящая курсовая работа и посвящена этому вопросу. Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы.
Катеноид относится к классу минимальных поверхностей [3, 4, 10, 13] и, одновременно является поверхностью вращения [1 — 5]. В связи с этим в первом разделе рассматриваются основные понятия минимальных поверхностей, формулируются определения катеноида, связанные с его геометрическими свойствами, дается вывод параметрического уравнения катеноида. Во втором разделе рассматриваются геометрические свойства катеноида. Приводятся формулы для нахождения первой и второй квадратичных форм поверхности, формулы для нахождения элемента площади и найдены кривизны катеноида. Необходимые расчетные соотношения получены из соответствующих формул для поверхностей вращения.
В третьем разделе выводятся формулы для нахождения объема и площади поверхности катеноида с использованием общих формул для поверхностей вращения. Во втором пункте раздела приводится одно из возможных доказательства теоремы о минимальности поверхности катеноида
В заключении сформулированы основные полученные результаты

Заключение:

Приведенный в курсовой работе материал дает достаточно полное представление о геометрических свойствах такой особенной поверхности, как катеноид. В отличие от традиционного описания свойств поверхностей, принятого при изложении дифференциальной геометрии в работе подчеркивается связь катеноида с минимальными поверхностями. При этом приводится краткое историческое описание этапов развития теории минимальных поверхностей и установления свойства минимальности катеноида.
Приведены расчетные формулы для первой и второй квадратичных форм поверхности, получены выражения для определения полных кривизн и гауссовой кривизны катеноида Установлено, что катеноид является поверхностью переменной отрицательной кривизны.
Получены расчетные формулы для нахождения объема и площади поверхности катеноида , которые оказались связанными простым соотношение .
Вместе с тем, в работе не приведены формулы для геодезических линий, уравнения параллелей и меридианов, а также уравнения касательных плоскостей и касательных прямых Так как катеноид является поверхностью вращения, то необходимые формулы нетрудно получить из общих соотношений для таких поверхностей с использованием полученных в работе параметрических уравнений катеноида, выражений для квадратичных форм и кривизн.
Таким образом, полученные в работе результаты могут быть использованы при первоначальном знакомстве с такой поверхностью, как катеноид.

Фрагмент текста работы:

1. КАТЕНОИД КАК МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ

В настоящем разделе формулируются различные определения гиперболы; вводятся понятия, используемые в тории кривых второго порядка; выводится каноническое уравнение гиперболы и доказывается теорема о фокальных радиусах.

1.1. Регулярные и минимальные поверхности.
Из аналитической геометрии известно [1, 2], что в евклидовом пространстве поверхность выражается уравнением
, (1.1)
связывающим координаты ее точек.
Такое определение нельзя считать достаточно строгим, так как оно не учитывает различные способы задания поверхностей и их свойства. Следуя [3], приведем следующие определения.
Регулярной поверхностью в называется двумерное гладкое подмногообразие .
С помощью теоремы о неявной функции уточним это определение:
1) называется регулярной поверхностью, если в достаточно малой окрестности каждой своей точки оно выделяется как множество нулей гладкой функции такой, что в этой окрестности

после подходящего перенумерования координат ;
2) называется регулярной поверхностью, если в достаточно малой окрестности каждой своей точки оно задается как график гладкого отображения

после подходящего перенумерования координат ;
3) называется регулярной поверхностью, если в достаточно малой окрестности каждой своей точки оно задается как образ гладкого отображения

где − область на плоскости с координатами , причем во всех точках этой области векторы и линейно независимы.
В работе [3] доказывается, что определения 1) – 3) регулярной поверхности эквивалентны. Хотя все три определения эквивалентны, пользоваться третьим особенно удобно при рассмотрении кривых на поверхности − не надо задавать кривую в и накладывать на нее аналитические условия, чтобы она лежала на поверхности, а достаточно задать кривую

как гладкое отображение в область .
Поверхность называется минимальной поверхностью, если вектор Н средней кривизны обращается в нуль в каждой ее точке. Это определение минимальной поверхности использует понятия кривизн [14], которые вводятся с помощью квадратичных форм поверхности [2, 3]. Эти понятия будут рассмотрены позже.
Первые исследования о минимальных поверхностях восходят к Ж. Лагранжу (J. Lagrange, 1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде Ж. Лагранж получил, что функция необходимо должна удовлетворять уравнению Эйлера – Лагранжа
. (1.2)
Позже Г. Монж (G. Monge, 1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию , и поэтому за поверхностями с нулевой средней кривизной закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, т. к. условие минимальности представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади [14].