Курсовая с практикой на тему Использование теоремы о сохранении количества движения в динамических расчетах.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ ……..…………………………………………………….……3
1. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОЧКИ …………………………………………………………………….5
1.1. Формулировка и доказательство теоремы…..….………………..5
1.2. Работа потенциальной силы. Потенциальная энергия………….7
1.3. Интеграл энергии …………………………………………………8
2. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ……………………………………………………….10
3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ…………….13
3.1. Задание и обозначения……………………………………………13
3.2. Решение задачи ……………………………………………………….14
ВЫВОД……….………………………………………………..………… 16
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………………17

Введение:

При решении многих задач динамики точки и системы широко применяются так называемые общие теоремы динамики, которые непосредственно следуют из основного закона динамики.
Значения основных теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости между основными динамическими характеристиками движения материальных систем, которые широко используются в инженерной практике. Кроме того, основные теоремы дают возможность изучить отдельные, практически важные стороны данного явления, не рассматривая его в целом.
Применение основных теорем на практике нередко приводит к полному решению поставленной задачи; при этом отпадает необходимость интегрирования уравнений движения, представляющее собой значительно более сложную задачу.
Однако удовлетвориться использованием основных теорем можно только при изучении наиболее простых движений систем или при рассмотрении какой-либо одной стороны сложных движений. Исчерпывающие сведения о движении может дать только полное интегрирование дифференциальных уравнений движения.
К основным теоремам динамики относятся: теорема об изменении количества движения, о движении центра масс, теорема об изменении момента количества движения, а также теорема об изменении кинетической энергии.
Эти теоремы формулируются как для одной материальной точки, так и для механической системы материальных точек, могут быть представлены в дифференциальной или конечной (интегральной) форме.
Цель данной работы состоит в рассмотрении теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки и ее применение к решению конкретной задачи.
Курсовая работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы.
В первом разделе приводится формулировка и доказательство теоремы об изменении кинетической энергии.
Второй раздел содержит решение заданной задачи, основанное на применении теоремы.
В заключении сформулированы основные полученные результаты.
При написании курсовой работы использованы результаты учебных пособий [1-3].

Заключение:

Использование основных законов движения в той или иной мере охватывает любую сферу науки, где происходит движение. В частности, из рассмотренного в работе закона о сохранении кинетической энергии следует невозможность создания вечного двигателя
В процессе выполнения задания были использованы теорема об изменении кинетической энергии материальной точки, принцип Даламбера и теорему об изменении количества движения материальной точки.
Полученные результаты могут быть использованы при рассмотрении аналогичных и более сложных задач.

Фрагмент текста работы:

1. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОЧКИ.
1.1. Скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией точки.
Рассмотрим основное уравнение динамики точки

и умножим обе его части скалярно на вектор . Получим

Так как масса постоянна, а , то
,
и
. (1)
Величина , т.е. скалярное произведение силы на скорость точки ее приложения представляет собой мощность. Таким образом, производная кинетической энергии по времени равно мощности. Обычно уравнение (1) представляют в другом виде, используя понятие работы силы.
Пусть точка, на которую действует сила , совершает элементарное перемещение . По определению элементарная работа равна скалярному произведению

Рис. 2. Рис. 3.

. (2)
Работа силы на конечном перемещении определяется как сумма элементарных работ, т.е. криволинейным интегралом вдоль дуги траектории
. (3)
Мощность и работа связаны соотношением
.
Единицей измерения работы, как и энергии, в системе СИ является Джоуль (1 Дж=1Н∙м), а мощность измеряется в Ваттах (1Вт=1 Дж/с).
Умножим обе части уравнения (1) на и учтем, что , получим следующее выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме
. (4)
На конечном перемещении вдоль траектории (рис.3) следует проинтегрировать выражение (4)
. (5)
или
. (6)
Равенство (6) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной интегральной форме: изменение кинетической энергии точки на некотором ее перемещении равно работе действующей силы на том же перемещении.
Для решения основной задачи динамики точки доказанная теорема играет существенную роль, когда она дает первый интеграл уравнений движения точки.

1.2. Работа потенциальной силы. Потенциальная энергия.
Пусть заданное силовое поле является потенциальным. Тогда элементарная работа
,
а работа силы на конечном перемещении из точки в точку (рис. 4)

Рис. 4. К вычислению работы
будет
. (7)
Таким образом, работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути. Она зависит только от начального и конечного положения точки и не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка приложения силы. Этот результат выражает основное свойство потенциального поля силового поля. Более точно: работа зависит только от того с какой поверхности уровня и на какую перемещается точка.
Если, в частности, потенциальная энергия происходит по замкнутому контуру , то, как видно из (7), работа будет равно нулю. Криволинейный интеграл

от векторной функции по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора . Таким образом, когда потенциальная функция однозначна, то циркуляция потенциального вектора равна нулю.
В потенциальном силовом поле можно ввести понятие о потенциальной энергии частицы, как о запасе работы, которую могут совершить силы поля при перемещении частицы из занимаемого ею положения на какую-нибудь поверхность уровня, условно принимаемую за нулевую. Выберем в равенстве (7) аддитивную постоянную так, чтобы на нулевой поверхности было . Тогда по определению потенциальной энергии в любой точке поля будет равна работе на перемещении или . Так как , то окончательно имеем
(8)
т.е. величина потенциальной энергии в любой точке поля равна силовой функции в этой точке с обратным знаком.

1.3. Интеграл энергии.
Если все действующие на материальную точку силы являются потенциальными, то и уравнение принимает вид
.
Интегрируя, находим
. (9)
где – постоянная интегрирования.
Равенство (9) дает первый интеграл уравнений движения точки, называемый интегралом энергии. Имеет место следующий закон сохранения механической энергии: при движении точки под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Поэтому потенциальной поле называют также консервативным.
Значение постоянной определяется из начальных условий. Если в некоторой точке поля частица имеет начальную скорость , то
, (10)
т.е. постоянная равна начальной энергии частицы.
При решении задач или непосредственно пользуются равенством (9) или используют теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме, вычисляя всякий раз работу силы на заданном перемещении.
В общем случае на движущееся тело наряду с потенциальными силами неизбежно действуют различные непотенциальные силы в виде сил сопротивления, трения и др. Это приводит к тому, что полная механическая энергия со временем убывает, переходя в другие виды энергии (тепло, излучение и др.
Пусть точка движется под действием потенциальной силы, а на нее действует еще диссипативная сила . Тогда

или

так как .
Если вблизи земной поверхности выделить область, размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли, то во всех точках области можно считать силу тяжести по модулю и направлению постоянной. Такое силовой поле называется однородным.
Тогда . Считая при , получим
.
Работа силы тяжести на перемещении будет
,
где разность высот точек и .
Если точка перемещается из положения с начальной скоростью , то ее скорость в любом положении найдется по теореме об изменении кинетической энергии
.
Откуда
.
Приведенные формулы используются в следующем разделе при решении задания.

2. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.
Количеством движения точки называется величина , т.е. произведение массы точки на вектор ее скорости. Основногй закон движения можнро представить в виде
(1)
или в проекции на лси координат
.
Умножим (1) на
. (2)
Величина называется элементарным импульсом силы. Равенство (2) выражаетт следующую теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы.
Проинтегрируем уравнение (2) в пределах от до
.
Примем в качестве начальных условий, что при скорость . Тогда

или
. (3)
Величина
(4)
называется импульсом силы за конечный промежуток времени.
Равенство (3) выражает теорему об изменении количества движения в конечной (интегральной) форме: изменение колличества движения точки за некоторый конечный промежуток времени равняется импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси координат получакм три скалярных уравнения
, , ,
, ,
проекции импульса на оси координат.
Если сила действует в течении очнь малого промежеутка времени , то

или по теореме о среднем
.
где .
Предположим, что при бесконечно малом урличество движения изменяется на конечную величину. Для того, чтобы было тконечной величиной при бесконечно малом необходимо, чтобы сила была бесконечно большой (порядка ). Отсюда следует, что бесконечно большая сила, действующая на материальную точку в течении бесконечнро малого промежутке времени, измепняет количество лвижения на конечную величи6ную Такая сила назывется улареной силой, а само явление носит название удара.
Пусть . Тогда сразу нахолдими векторный интеграл
.
Этот результат выражает тот факт, что при отсутствии ислы материальная точка движется равномерно и прямолиинейно, т.е. по инеруии.
Пусть на точку действует сила постоянного направления, например, параллельно все время оси . Тогда , и получаем два первых интегрда
, .
Геометрически эти интеграла означают, что траектория точки есть плоская кривая, лежаща\ в плоскости, параллельной оси , те действию силы.
Если сила все время перпендикулярна к какой-либо оси, например , то и получаем первый интеграл
.
т.е. движение точки происходит так, что проекция ее скоорогсти на ось перпендикулярную к силе, остается величиной постоянной.
Если ли зависит только от времени , то интеграл некпосредственно вычисляется и теорема дает один векторный или трискаляпных первых интеграла уравнений движения.