Курсовая с практикой на тему Гиперболические функции и их применение к интегрированию

Содержание:

Введение 3
1. Теоретический аспект теории гиперболических функций 5
1.1 Понятие гиперболической функции и их графики 5
1.2 Свойства гиперболических функций 10
1.3 Обратные гиперболические функции и их графики 12
2. Практическое применение гиперболических функций к интегрированию 16
2.1 Интегрирование гиперболических функций 16
2.2 Задачи на применение гиперболических функций при вычислении интегралов 19
Заключение 24
Список литературы 25

Введение:

Актуальность темы. Изначально понятие «гиперболическая функция» ввел Винченцо Риккати еще в 1757 году в своем труде «Opusculorum». Ученый гиперболические функции вывел на основе рассмотрения единичной гиперболы. Винсент Риккати – это итальянский математик, член Петербургской Академии Наук с 1760 года. Он является создателем гиперболических функций.
Современная математика рассматривает гиперболические функции, как пары экспоненциальной функции, но Риккати исследовал их свойства, используя только геометрические свойства гиперболы или . Он использовал геометрические методы, хотя ученый хорошо был ознакомлен с работами Эйлера, которые предшествовали трудам Риккати.
Над гиперболическими функциями Риккати работал вместе с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью геометрических методов получил интегральную формулу для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.
Возможности и инструментарий теории гиперболических функций позволяет решать разного типа интегралы, упрощая поиск решения. Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Гиперболические функции и их применение к интегрированию».
Объект исследования: гиперболические функции.
Предмет исследования: применение гиперболических функций к интегрированию.
Цель работы – изучить гиперболические функции и их применение к интегрированию.
Достижение поставленной цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Исследовать и проанализировать научную литературу по данной теме.
2. Раскрыть сущность понятия «гиперболическая функция».
3. Описать и систематизировать основные свойства гиперболических функций и их графики.
4. Подобрать примеры для иллюстрации понятий, используемых в работе, и сделать соответствующие выводы.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 26 страниц.

Текст работы:

На основе проведенного исследования, хотелось бы отметить необходимость дальнейшего изучения теории гиперболических функций исходя из важности области применения понятия «гиперболическая функция» в процессе интегрирования как самих непосредственно рассматриваемых функций, так и тригонометрических функций, радикалов и так дальше.
В курсовой работе «Гиперболические функции и их применение к интегрированию» был систематизирован теоретический материал о гиперболических и обратных гиперболических функциях. Рассмотрены также примеры применения гиперболических функций к решению задач математического анализа.
В курсовой работе было рассмотрено много иллюстративных примеров. Поэтому, цель курсовой работы достигнута, а задачи, поставленные в начале, выполнены.

Заключение:

Актуальность темы. Изначально понятие «гиперболическая функция» ввел Винченцо Риккати еще в 1757 году в своем труде «Opusculorum». Ученый гиперболические функции вывел на основе рассмотрения единичной гиперболы. Винсент Риккати – это итальянский математик, член Петербургской Академии Наук с 1760 года. Он является создателем гиперболических функций.
Современная математика рассматривает гиперболические функции, как пары экспоненциальной функции, но Риккати исследовал их свойства, используя только геометрические свойства гиперболы или . Он использовал геометрические методы, хотя ученый хорошо был ознакомлен с работами Эйлера, которые предшествовали трудам Риккати.
Над гиперболическими функциями Риккати работал вместе с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью геометрических методов получил интегральную формулу для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.
Возможности и инструментарий теории гиперболических функций позволяет решать разного типа интегралы, упрощая поиск решения. Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Гиперболические функции и их применение к интегрированию».
Объект исследования: гиперболические функции.
Предмет исследования: применение гиперболических функций к интегрированию.
Цель работы – изучить гиперболические функции и их применение к интегрированию.
Достижение поставленной цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Исследовать и проанализировать научную литературу по данной теме.
2. Раскрыть сущность понятия «гиперболическая функция».
3. Описать и систематизировать основные свойства гиперболических функций и их графики.
4. Подобрать примеры для иллюстрации понятий, используемых в работе, и сделать соответствующие выводы.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 26 страниц.

Список литературы:

1. Теоретический аспект теории гиперболических функций

1.1 Понятие гиперболической функции и их графики

Определение 1. Гиперболические функции – это функции, которые входят в семейство элементарных функций, которые выражаются через экспоненту, и определяются формулами: гиперболический синус – , гиперболический косинус – , гиперболический тангенс – , гиперболический котангенс – [14].
Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность. Его можно также само построить.
Примечание. Название «гиперболические функции» непосредственно можно объяснить тем, что уравнения и можно рассматривать как параметрические уравнения гиперболы .
Также скажем немного о параметре . Он приравниваются удвоенной площади гиперболического сектора, которая имеет знак «+» (сектор выше оси Oх), и «−» в противоположном случае. Данный факт отражен в обозначениях и названиях обратных гиперболических функций, где «ar» – это сокращение латинского «area» – площадь [15].
В математике часто используются функции, которые задаются таким образом:
— ;
— ; (1)
— ;
— .
Их называют соответственно гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Используя же определение легко убедиться в справедливости формул:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ; (2)
5) .
Отсюда:
6) ;
7) и так далее.
Введенные выше функции называются гиперболическими, потому что, как мы положим:
(3)
и подставим эти значения в , то получим:
. (4)
Система (3) и равенство (4) – разные выражения одной и той же кривой в координатной плоскости, но (4) это уравнение гиперболы. Поэтому эти функции называют гиперболическими. (Подобно этому тригонометрические функции можно назвать круговыми [15])
Построим графики этих функций.
Функция и ее свойства
Определение 2. Гиперболический синус – гиперболическая функция представленная формулой .

Рисунок 1 – Гиперболический синус [6]
Свойства функции
1) Область определения ;
2) Непрерывная функция на ;
3) Множество значений ;
4) Функция непрерывная и монотонно возрастающая на R;
5) Функция нечетная на множестве действительных чисел [7].
Функция и ее свойства
Определение 3. Гиперболический косинус – гиперболическая функция представленная формулой .

Рисунок 2 – Гиперболический косинус [6]