Курсовая с практикой на тему Геометрические задачи на экстремум

Содержание:

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ. 2
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПО
ТЕМЕ «ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ»  4
1.1. Понятие экстремума функции. 4
1.2. Необходимые и достаточные
условия существования экстремумов. 8
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ»  14
2.1. Алгоритм нахождения точек
экстремума функции. 14
2.2. Методы решения задач геометрии
на экстремум. 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 32

Введение:

Экстремальные
задачи являются задачами на максимум и минимум. Данные задачи занимают особое
место в жизни человека. С данными задачами работают представители самых различных
профессий. Инженер-технолог старается таким образом организовать
производственный процесс, чтобы могло быть выпущено как можно большее
количество продукции; конструкторы стараются создать прибор для космических
кораблей таким образом, чтобы его масса была минимальной; экономисты пытаются
создать план связи завода с источниками сырья таким образом, чтобы транспортные
расходы были наименьшими и т.д. Любая организация может столкнуться с
необходимостью сделать некоторую работу, потратив как можно меньше ресурсов. В
данном случае и приходят на помощь методы по решению задач оптимизации и задачи
на нахождение экстремумов. Использование данных задач и методов их решения
являются ярчайшим примером необходимости математики в человеческой жизни.

Становление
областей науки и техники существенно зависит от формирования разных направлений
в математике. На сегодняшний день математика – это средство в решении проблем
организации производства, она способствует поиску оптимальных решений, что
содействует повышению производительности труда.

Большинство
прикладных задач сводятся к изучению функции на экстремум. В особенности, в
экономической теории задача математического программирования часто сводится к
задаче на условный экстремум. Одним из наиболее удобных способов поиска
экстремума функции при наличии ограничений на ее переменные, т.е. решения
задачи условной оптимизации, является метод множителей Лагранжа. Основное
практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет
перейти от условной оптимизации к безусловной.

Курс
алгебры содержит разнообразный материал, однако, одним из его разделов является
вопрос о нахождении экстремальных значений. Между тем знание способов решения
подобного рода задач оказывается полезным при решении многих текстовых задач,
т.к. может значительно облегчить их решение. Решение задач за экстремумы имеет
не только теоретический интерес. К решению таких задач сводятся иногда задачи,
связанные с практикой и повседневной деятельностью человека. Также такие
уравнения иногда встречаются в физике и геометрии.

Все
вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.

Целью
исследования является систематизация и обобщение методов решения задач на
экстремумы из различных предметных областей.

Объектом
исследования стали методы математического анализа.

Предмет
исследования – задачи на нахождение экстремальных значений величин и методы их
решения.

Цель,
объект и предмет исследования обусловили выбор следующих задач:

— изучить понятие экстремума функции;

— изучить необходимые и достаточные условия
существования экстремума функции;

— охарактеризовать алгоритм нахождения точек
экстремума функции;

— рассмотреть методы решения задач геометрии
на экстремум.

Структура
работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Заключение:

В
данной работе рассмотрены вопросы и определения по теме экстремума функции.
Изложены вопросы в отношении использования экстремум функции при решении
геометрических задач.

В
математическом анализе можно говорить о существовании максимума и минимума
функции, известными под общим названием экстремумов, они являются самым
максимальным и малым значением функции, либо в пределах заданного диапазона
(локальные или относительные экстремумы), или на всей области (глобальные или
абсолютные экстремумы).

Поиск
глобальных максимумов и минимумов – цель математической оптимизации. Если
функция непрерывна на отрезке, то по теореме об экстремальных значениях
глобальные максимумы и минимумы существуют.

На
основе различных типов задач можно выделить основные шаги решения:

1.
Решить, что это за переменные и каковы константы, при необходимости нарисовать
график, четко определить, что именно следует максимизировать или
минимизировать.

2.
Написать формулу функции, для которой нужно найти максимум или минимум.

3.
Выразить эту формулу только с помощью одной переменной, то есть в форме f (х).

4.
Установить f
′(х)
= 0 и решить. Проверить все критические значения и конечные точки, чтобы
определить экстремальное значение.

На
основе проделанной работы можно сделать вывод о том, что теория экстремальных
задач развивается, вследствие чего появляются новые методы для решения задач на
максимумы и минимумы.

Таким
образом, цель, поставленная в работе, достигнута, а задачи решены.

Фрагмент текста работы:

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ПО ТЕМЕ «ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ» 1.1. Понятие экстремума
функции Для
любой величины, описываемой функцией, нас часто интересуют наибольшие или
наименьшие значения, которые достигаются этой величиной. Например, если функция
описывает скорость объекта, кажется разумным узнать, какой самый быстрый или
самый медленный объект перемещался. Если функция описывает стоимость акции, мы
можем захотеть узнать самые высокие или самые низкие значения, достигнутые этой
акцией за последний год. Мы называем такие значения экстремальными значениями.

Значения
максимального и минимального являются крайние значения, или экстремумов. Важное
применение критических точек – определение возможных максимальных и минимальных
значений функции на определенных интервалах [4].

Теорема
об экстремальных значениях гарантирует максимальное и минимальное значение
функции при определенных условиях. В ней говорится следующее:

«Если
функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то f (x) имеет как максимальное,
так и минимальное значение на [a, b]» [2].

Процедура
применения теоремы об экстремальном значении состоит в том, чтобы сначала
установить, что функция непрерывна на отрезке. Следующим шагом является
определение всех критических точек в данном интервале и оценка функции в этих
критических точках и в конечных точках интервала. Наибольшее значение функции
из предыдущего шага — это максимальное значение, а наименьшее значение функции
— минимальное значение функции на данном интервале.

Можно
вывести определения.