Курсовая с практикой на тему Геликоид и его свойства.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ ……….…………………………………………….………………3
1. ГЕЛИКОИД − ЛИНЕЙЧАТАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ……5
1.1. Геликоид и его уравнения. ……………………….……………….5
1.2. Геликоид как винтовая поверхность …………………………….8
2. ГЕОМЕТРИЯ ГЕЛИКОИДА …………..……..………………………11
2.1. Первая квадратичная форма геликоида …………………….11
2.2. Вторая квадратичная форма и кривизны геликоида ………12
2.3. Теореме о минимальности поверхности ……………………….15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………16
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………..17

Введение:

Геликоид, от греческого helix, helikos улитка, и eidos сходство, улиткообразная линия – это линейчатая винтовая поверхность, и из всех минимальных поверхностей только геликоид является линейчатой поверхностью. Свойства геликоида обусловлены одновременной принадлежностью к разным классам поверхностей, а один их возможных видов геликоида показан на рис. .1.

Рис. 1. Геликоид. Рис 2. Модель «Башня Татлина Рис. 3. Лестница «в небо

Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) дают ступеньки винтовой лестницы, а представление о геликоиде можно также получить, рассматривая движение винта вертолета (геликоптера) в момент его вертикального подъема. Геликоидальные оболочки нашли применение в архитектуре в виде рамп, винтовых лестниц, элементов фасадов, а иногда и формы здания в целом. Примеры такого применения показаны на рис. 2, 3.
Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясняется следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных видов равномерного движения – прямолинейного и вращательного. Вследствие этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного из указанных видов к другому, что имеет место практически в любой машине
Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также в прямоугольных резьбах, предназначенных для передачи значительных осевых усилий. Наклонные геликоиды ограничивают поверхность витков резьбы с прямолинейной боковой стороной профиля.
В дифференциальной геометрии свойства поверхностей описывают с помощью таких понятий как первая и вторая квадратичные формы, полная и средняя кривизны, регулярные и особые точки, наложение и изгибания поверхностей и другие [1–14]. Однако в большинстве учебных пособий рассматриваются лишь отдельные свойства поверхностей, и поэтому единое и достаточно полное (в определенном смысле) описание свойств геликоида является актуальным.
Настоящая курсовая работа и посвящена изучению этого вопроса. Целью работы является получение необходимых расчетных формул для описания геометрических свойств геликоида. Задача работы состоит в представлении этих формул в виде, удобном для практического использования. Работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы.
В первом разделе формулируются определения геликоида, связанные с его геометрическими свойствами, приводятся уравнения геликоида, который рассматривается как винтовая поверхность.
Во втором разделе рассматриваются геометрические свойства геликоида. Приводятся формулы для нахождения первой и второй квадратичных форм поверхности, формулы для нахождения элемента площади и найдены кривизны геликоида. Необходимые расчетные соотношения получены из общих формул теории поверхностей. Приводится одно из возможных доказательства теоремы о минимальности поверхности катеноида
В заключении сформулированы основные полученные результаты.

Заключение:

Приведенный в курсовой работе материал дает достаточно полное представление о геометрических свойствах такой особенной поверхности, как геликоид. В работе подчеркивается связь катеноида с винтовыми поверхностями.
Из общих формул теории поверхностей получены выражения формулы для первой и второй квадратичных форм поверхности, найдены выражения для определения полных кривизн и гауссовой кривизны геликоида. Установлено, что геликоид является поверхностью постоянной отрицательной Гауссовой кривизны.
Получены расчетные формулы для нахождения и площади одного витка геликоида.
Вместе с тем, в работе не приведены формулы для геодезических линий, уравнения параллелей и меридианов, а также уравнения касательных плоскостей и касательных прямых Так как геликоид является винтовой линейчатой поверхностью, то необходимые формулы нетрудно получить из общих соотношений для таких поверхностей с использованием полученных в работе параметрических уравнений геликоида и выражений для квадратичных форм и кривизн.
Таким образом, полученные в работе результаты могут быть использованы при первоначальном знакомстве с такой поверхностью, как геликоид.

Фрагмент текста работы:

1. ГЕЛИКОИД − ЛИНЕЙЧАТАЯ ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

В настоящем разделе формулируются различные определения геликоида; приводятся его уравнения, и рассматриваются винтовые поверхности, к которым принадлежит геликоид.

1.1. Геликоид и его уравнения.
Интуитивно, непрерывная поверхность является множеством в трехмерном евклидовом пространстве , каждая точка которого имеет окрестность в , являющуюся гомеоморфным (т.е. взаимно однозначным и взаимно непрерывным) образом круга единичного радиуса на евклидовой плоскости. Если дополнительно потребовать дифференцируемости соответствующего отображения и обратного к нему, то мы получим гладкую поверхность.
В курсе аналитической геометрии рассматривались поверхностями второго порядка: эллипсоид, гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоиды, цилиндры, которые являются гладкими поверхностями. Эти поверхности были заданы неявно, уравнением
. (1.1)
где – многочлен второго порядка. Заметим, что для многочленов произвольного порядка такие поверхности называются алгебраическими.
Простейшим, но важным, примером поверхности, заданной одной картой, является поверхность , являющаяся графиком функции
. (1.2)
где – область (т.е. открытое связное множество) в , а функция
имеет непрерывные частые производные в и непрерывна в .
При таком задании поверхности координаты и координата не равноправны. Они станут равноправными, если удастся ввести новые координаты ( ) и задать параметризацию точек поверхности в виде:
, , , ,
где функции имеют непрерывные частные производные в области и непрерывны в . Иначе, эту формулу можно записать в виде
, , (1.3)
По определению, если существует касательная плоскость к поверхности в некоторой точке, то вектора и ей принадлежат. Сформулируем
Определение 1. Параметризацию (1.3) назовем регулярной, если вектора и линейно независимы для всех , и соответствие взаимно однозначно.
Регулярность параметризации гарантирует существование нормали (и, тем самым, касательной плоскости) к поверхности во всех ее точках. Изначально, и являются декартовыми координатами в области , но взаимно однозначность отображения позволяет рассматривать их как функции на поверхности или, иначе, как криволинейные координаты на . При этом кривые и являются координатными линиями на поверхности.
Основное определение геликоида можно сформулировать следующим образом.
Определение 2. Геликоид − винтовая поверхность, описываемая прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось движения под постоянным углом и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. Скорости этих движений пропорциональны.
При геликоид называется прямым или минимальным см. рис. 1.1). При геликоид называется косым (рис. 1.2).