Курсовая с практикой на тему Гармонический анализ функции

Содержание:

Введение 6
1. Теоретическая часть 7
1.1 Непрерывность функции и классификация точек разрыва 7
1.2 Гармонический анализ 8
1.3 Ортогональные системы функций. Ортогональность семейства функций sinnx и cosnx 9
1.4 Тригонометрический ряд и ряд Фурье функции 9
1.5 Теорема Дирихле о достаточных условиях разложения функции в ряд Фурье 10
1.6 Разложение в ряд Фурье 2π — периодических функций 11
1.7 Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом 11
1.8 Разложение в ряд Фурье непериодических функций 12
1.9 Средняя квадратическая ошибка представления функции рядом Фурье 13
1.10 Амплитудный и фазовый спектры периодической функции 13
1.11 Достаточные условия представления функции интегралом Фурье 14
1.12 Представление функции интегралом Фурье 15
2. Практическая часть 16
2.1 Аналитическое описание и график заданной функции 16
2.2 Разложение в ряд Фурье, функции, продолженной произвольным образом 18
2.2.1 Проверка достаточных условий разложения функции в ряд Фурье 18
2.2.2 Представление в аналитическом виде функции рядом Фурье общего вида 18
2.2.3 Графики сумм гармоник функции, представленной рядом Фурье общего вида и оценка погрешности разложения 20
2.2.4 Графическое представление амплитудного и фазового спектра функции, разложенной в ряд Фурье общего вида 22
2.3 Разложение в ряд Фурье функции, продолженной четным способом 24
2.3.1 Представление в аналитическом виде функции рядом Фурье по косинусам 24
2.3.2 Графики сумм гармоник функции, представленной рядом Фурье по косинусам и оценка погрешности разложения 25
2.3.3 Графическое представление амплитудного и фазового спектра функции, разложенной в ряд Фурье по косинусам 28
2.4 Разложение в ряд Фурье функции, продолженной нечетным способом 29
2.4.1 Представление в аналитическом виде функции рядом Фурье по синусам 29
2.4.2 Графики сумм гармоник функции, представленной рядом Фурье по синусам и оценка погрешности разложения 30
2.4.3 Графическое представление амплитудного и фазового спектра функции, разложенной в ряд Фурье по синусам 33
2.5 Представление продолженных функций интегралом Фурье 34
2.5.1 Проверка достаточных условий представления функции интегралом Фурье 34
2.5.2 Аналитическое и графическое представление функции интегралом Фурье общего вида 35
2.5.3 Аналитическое и графическое представление функции интегралом Фурье по косинусам 37
2.5.4 Аналитическое и графической представление функции интегралом Фурье по косинусам 39
Выводы по курсовой работе 41
Литература 42

Введение:

Целью курсовой работы является получение практических навыков гармонического анализа функций.
В соответствии с целью, курсовая работа имеет следующие задачи:
— дать определение непрерывности функции и классификацию точек разрыва функции;
— дать определение гармонического анализа функций и его значения для задач математической физики;
— дать определение ортогональных систем функций;
— дать определение тригонометрического ряда и ряда Фурье функции;
— описать достаточные условия разложения функции в ряд Фурье;
— дать описание разложения 2π – периодических функций в ряд Фурье;
— дать описание разложения непериодических функций в ряд Фурье;
— дать определение средней квадратической ошибки разложения функции в ряд Фурье;
— дать определение амплитудного и фазового спектра периодической функции;
— описать достаточные условия представления функции интегралом Фурье;
— найти четное, нечетное и произвольное продолжение конкретной функции;
— проверить достаточные условия разложения в ряд Фурье конкретной функции;
— представить ряд Фурье в общем виде для функции с произвольным разложением, по косинусам – с четным разложением, по синусам – с нечетным разложением;
— построить графики гармоник, амплитудного и фазового спектров;
— дать представление конкретной функции в виде интеграла Фурье;
— сделать выводы.

Заключение:

Гармонический анализ — это раздел математики, связанный с разложением колебаний на гармонические колебания.
Периодические функции играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.
В курсовой работе был проведен гармонический анализ кусочно-непрерывной функции.
Было сделано следующее:
— проверены достаточные условия разложения в ряд Фурье конкретной функции и сделан вывод, что функция может быть разложена в ряд Фурье;
— представлен ряд Фурье в общем виде для функции с произвольным разложением, по косинусам – с четным разложением, по синусам – с нечетным разложением;
— рассчитаны средние квадратические ошибки разложений в ряд Фурье.
Так как исходная функция не является периодической, то анализ ошибок показал, что не всегда с увеличением числа гармоник, точность возрастает. В большинстве случаев, оптимальная точность достигается на сумме 0,1,2 гармоник;
— были построены графики гармоник, амплитудного и фазового спектров.
— было дано представление функции с произвольным, четным и нечетным продолжением в виде интеграла Фурье, а также вычислены значения интегралов в точках разрыва первого рода.
Таким образом, все задачи курсовой работы выполнены, цель курсовой работы достигнута.

Фрагмент текста работы:

Теоретическая часть

1.1 Непрерывность функции и классификация точек разрыва

Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x_0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке: lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)=〗 f(x_0 )
Определение 2. Функция является непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке данного интервала.
Определение 3. Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности.
Классификация точек разрыва охватывает точки разрыва первого и второго рода.
Определение 4. Точкой разрыва первого рода x=x_0 функции y=f(x) является точка, в которой существуют конечные, но не равные односторонние пределы функции y=f(x) , то есть:

∃lim┬(x→x_0+0)⁡〖f(x)=〗 a,∃lim┬(x→x_0-0)⁡〖f(x)=〗 b,a≠b (1.1)

Определение 5. Точкой разрыва второго рода x=x_0 функции y=f(x) является точка, в которой существуют не равные односторонние пределы функции y=f(x) , при этом хотя бы один из них не существует или бесконечен[2, c. 35].